유명한 문제! 2024학년도 수능 수학 22번, 알티쌤이 수학적으로 빈틈없이 재구성한 풀이 (feat. 아마도 모범답안)
이 문제는 정답률 1.5% 로 최근 수능 중 최저 수준입니다. 그런데 교재나 인터넷 풀이들은 대부분 논리가 완벽하지 않습니다. 필요조건으로 완벽하게 추려내는 풀이는 아래와 같이 좀 길게 써집니다... 풀이가 길어진건 출제된 문제 자체가 어려워서 그런거니 제 풀이 탓은 아니구요ㅋ
0. 문제
문제는 아래와 같습니다.
2024학년도 수능 수학 22번입니다.
2024학년도 수능 수학 22번
교재나 인터넷에서 보이는 풀이들은 대부분 미분계수의 부호를 보고 그래프 개형을 여러 가지로 나눠 그린 다음, 조건에 맞는 것을 골라내는 방식입니다. 그런데 그 과정에서 "이렇게 생겼을 것 같으니 이 경우다" 로 적당히 넘어가는 방식이고, 답은 그럭저럭 구해지지만 대부분 풀이의 논리가 엄밀하지 못합니다.
여기서 저는 앞에서 부터 뒤로 연역적으로 연결해서 f(x) 를 확정해 보겠습니다.
1. 조건을 긍정문으로 고쳐쓰기
주어진 조건은 "f(k-1)f(k+1)<0 인 정수 k 가 없다" 입니다. 부정문이라 다루기 불편하니 평문으로 고칩니다. "모든 정수 k 에 대해 f(k-1)f(k+1) ≥ 0 이다." 로 바꾸고, k-1 을 n 으로 바꿔 써보겠습니다.
즉, "두 칸 떨어진 정수에서의 함숫값끼리는 부호가 반대일 수 없다." 라는 뜻입니다.
그래서 짝수만 따로 생각해 봅니다.
f(x) 는 최고차항의 계수가 1 인 삼차함수이므로, x 가 충분히 작으면 f(x)<0 이고 충분히 크면 f(x)>0 이죠. 그러니 위의 짝수 함숫값의 수열은 음수로 출발해서 양수로 끝납니다. 그런데 이웃한 두 값이 반대 부호일 수 없으니, 음수에서 양수로 건너뛸 방법이 없습니다. 그래서, 중간에 값이 0 인 지점을 반드시 밟아야 합니다.
따라서 f(x) 는 짝수인 정수근 을 가집니다.
마찬가지 방법으로, 홀수 쪽
수열에도 반드시 값이 0 인 것이 존재합니다. 즉, f(x) 는 홀수인 정수근 도 가집니다.
삼차함수의 실근이 두 개가 나왔으므로, 이 삼차함수의 실근은 3개입니다.
(∵f(x) 는 실수 계수 삼차함수이고 이미 실근을 둘 가졌고, 허근은 켤레끼리 짝을 지어서만 나올 수 있으니 남은 하나가 허근일 수는 없습니다.)
2. 정수근은 바로 옆에 근이 하나 더 있다
정수 r 이 f(x) 의 근이라고 하겠습니다. 그러면
로 쓸 수 있고,
여기서, g(x) 는 최고차항의 계수가 1 인 이차함수입니다. 1 의 부등식 조건에 n = r -1 을 넣으면
인데, g(x) 로 표현해보면, x-r 자리에 각각 -1 과 1 이 들어가므로
입니다. 한쪽 부호가 반전되므로 부등식은
이고 부등호 방향이 바뀝니다.
g(x) 는 다항함수라 연속이니, 사잇값 정리에 의해 구간 [r-1, r+1] 안에 g(x) 의 근이 적어도 하나 있습니다.
이 때, g(x) 의 근이 r 자신일 수도 있습니다. 그럼 r 은 f(x) 의 중근이 되는 거죠. 그 경우까지 포함하려면 근을 셀 때 중복도를 인정하고 세면 됩니다. 그래서 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
정수근 r 이 있으면, 구간 [r-1, r+1] 안에는 중복도를 포함하여 f(x) 의 근이 적어도 두 개 있다.
3. 두 정수근은 연속한다
앞의 1 에서 찾은 짝수근과 홀수근을 하나씩 골라서 각각 p, q 라 합니다. 크기순으로 p<q 라 하면, 홀짝이 다르므로 q-p 는 홀수입니다. (p>q 일 때도 마찬가지 방법으로 진행하면 됩니다.)
이 때, 이 두 근 p, q 가 연속하지 않는다고 가정하면, q-p 가 홀수이면서 1 이 아니므로 q-p ≥ 3 입니다.
한편, 앞의 2 에 의해 구간 [p-1, p+1] 안에 근이 두 개 이상, 구간 [q-1, q+1] 안에도 근이 두 개 이상 있습니다. 그런데 q-p ≥ 3 이면 q-1 ≥ p+2 이므로, 두 구간은 서로 겹치지 않습니다.
겹치지 않는 두 구간에 근이 각각 두 개 이상씩이니, f(x) 는 중복도를 포함해 근을 적어도 네 개 가져야 합니다. 그런데, 삼차함수는 근을 셋까지밖에 못 가지니 모순입니다.
따라서 q-p=1 임이 확인되었고, 즉, 두 정수근은 연속한 두 정수입니다.
이제, 작은 쪽 정수근을 m 이라 하면 다른 하나는 m+1 입니다. 그리고, 세 번째 실근을 h 라 하겠습니다.
m 은 정수, h 는 실수. 미지수는 m, h 두 개만 구하면 끝납니다. 이제 문제에서 주어진 미분조건을 쓸 차례입니다.
4. f'(-1/4) 계산
이제부터는 그냥 계산해서 m, h 를 찾으면 됩니다.
앞의 3의 f 를 미분하면
인데, x=-1/4 을 대입하고 f'(-1/4)=-1/4 을 쓴 뒤 정리하면, 깔끔하게 인수분해됩니다.
여기서, m 은 정수이므로 4m+3 은 0 이 될 수 없습니다. (4m+3=0 이면 m=-3/4 이 되어버리니까요.)
따라서 뒤쪽 괄호가 0 이어야 하고,
가 됩니다. 즉, h 가 m 으로 표현됐습니다. 이제, 미지수 m 만 구하면 됩니다.
참고로 h 의 분자에 있는 4m+5 는 홀수이므로 h 는 정수가 될 수 없습니다.
즉, f(x) 의 정수근은 m 과 m+1 뿐입니다.
5. f'(1/4)<0 계산
이제, 구한 h 를 f'(1/4) 에 넣고 정리하면 다음과 같습니다.
문제 조건이 f'(1/4)<0 이므로, m 으로 적어보면 m > -5/12 가 나옵니다. m 은 정수이므로
이 됩니다.
6. m 조이기
m-1 과 m+1 은 홀짝이 같습니다. 그리고 4 의 결과에서 f(x) 의 정수근은 m 과 m+1 뿐이니,
이 함수값 수열은 아래와 같이 진행하게 됩니다.
충분히 작은 쪽에서 음수로 출발하고, 이웃한 값끼리 부호가 반대일 수 없고, x = m+1 이전에는 이 그룹에 정수근이 없으니 0 도 없습니다. 즉, x = m+1 이전에는 함수값이 음수에서 양수로 부호를 바꿀 기회가 아예 없는 거죠. 따라서
입니다. 여기에 h 를 넣어 계산하면
이므로 (12m-3)/4 < 0 이고, 즉 m < 1/4 입니다. m 은 정수이므로
5 의 결과와 함께 쓰면 m ≥ 0 이면서 m ≤ 0 이니 조여서
이 확정됩니다. 이어서 h=-5/8 이고, 그러므로
입니다. 따라서,
으로 답은 483 입니다.
답을 내는데는 이 정도면 됩니다. (수능에서 답은 반드시 존재하고, 이게 답이 아니라면 수능 출제오류가 될테니까요...) 그렇지만, 답의 존재성을 모른다면 충분성을 검증해야 합니다.
7. 충분성 검증
즉, 지금까지 한 것은 "문제의 조건을 만족하는 f(x) 가 있다면 그건 이것뿐이다" 입니다. 필요조건만 타고 와서 마지막에 답이 하나만 남은 상황에 다다른거죠. 수능 시험장에서야 답만 쓰고 나오면 그만이지만, 빈틈없는 풀이가 되려면 여러가지 필요조건들로 구한 f(x) 가 실제로 조건을 다 만족하는지 확인해서 충분성을 보장해야합니다.
f(x)=x(x-1)(x+5/8) 의 근은 -5/8, 0, 1 입니다.
(1) 먼저 미분조건.
5 의 식에 m=0 을 넣으면 f'(1/4)=-5/8<0 이라 합격이고, f'(-1/4)=-1/4 은 4 의 계산을 거꾸로 따라가보면 성립합니다.
(2) 정수 부호조건
모든 정수 n 에 대해 f(n)f(n+2) ≥ 0 인지 봐야 하는데, 정수를 세 덩어리로 나눠서 생각합니다.
① n ≤ -3 이면 n 과 n+2 가 모두 -5/8 보다 작으므로 f(n)<0, f(n+2)<0. 곱은 양수입니다.
② n 이 -2, -1, 0, 1 중 하나면 n 과 n+2 중 하나가 0 또는 1 이 되어 함숫값이 0 입니다. 곱은 0.
③ n ≥ 2 이면 n 과 n+2 가 모두 1 보다 크므로 f(n)>0, f(n+2)>0. 곱은 양수입니다.
즉, 모든 경우에서 f(n)f(n+2) ≥ 0 이니 조건을 만족합니다.
이로써 조건을 만족하는 f(x) 는 존재하고, 유일합니다. f(8)=483 이 확정됐습니다.
8. 참고
이 풀이는 '완벽 구성' 을 갖추느라 생각하기 쉽지않은 필요조건이 여러개이고, 따라서 실제 시험장에서 이 풀이로 쓰는 학생은 거의 없을것 같네요.
팁을 드리자면, 이산 조건은 이산 도구로 쓰는게 제격입니다. 짝수·홀수로 나눠서 부호를 따지고(1), 사잇값 정리로 근의 개수를 세고(2), 삼차함수의 근은 셋뿐이라는 제약조건으로 조금씩 후보들을 털어가면 됩니다.
이런 이산 조건을 연속을 살피는 그래프를 그려가면서 분류하면 힘들어집니다.
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