우함수를 적분할 때 대칭성을 살리는 방법 (feat. 2018학년도 6월 가형 30번, 정답률 8% 킬러 문제)

글·그림 알티수학 쌤 · 2026-04-06 · 고3 수학

피적분함수가 우함수인 적분 문제는 수능에서 종종 나옵니다. 적분할때 생기는 적분상수가 기함수를 보장해주지 못하면서 대칭성이 깨지는데 계산이 엄청 복잡해지는 대참사가 벌어집니다. 이럴때 x=0 에서 시작하는 정적분으로 대칭성을 알기쉽게 유지할 수 있습니다.

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2018학년도 6월 가형 30번으로 살펴보겠습니다.

우함수를 적분할 때 대칭성을 살리는 방법 (feat. 2018학년도 6월 가형 30번, 정답률 8% 킬러 문제) — 그림 1

이 문제는 당시 정답률이 8% 였습니다.

1. 먼저 관찰할 것

이 문제에서 눈치채야 할 것은

f(x)=\ln (x^4+1)-c

가 우함수라는 것입니다.그래프 개형은 아래와 같습니다. 증감표를 그리거나 n축을 쓰면 금방 그릴 수 있고, x=0 에서 미분 가능한것도 쉽게 알 수 있습니다.

우함수를 적분할 때 대칭성을 살리는 방법 (feat. 2018학년도 6월 가형 30번, 정답률 8% 킬러 문제) — 그림 2

x축의 위치는 아직 모릅니다.

문제에서 주어진 g(x) 는

g(x)=\int _a^xf(t)\, dt

이고, 여기서 적분 아래끝이 a 입니다. a 가 0 이 아니면 g(x) 는 기함수도 우함수도 아니라서 f(x) 는 쓰기 좋은 대칭성이 있는데도 불구하고, g(x) 에서는 대칭성이 깨져버립니다. 이 상태로 풀려고 진행하면, 대칭성을 활용할 수 없으므로 풀이가 복잡해지고 틀리기 쉽습니다. 실제로 대부분의 교재에 수록된 이 문제의 풀이를 보면 대칭성을 못살려서 계산과정이 엄청 어렵게 써져 있습니다.

2. 0 에서 부터 정적분 (핵심!)

적분이후에 대칭성을 살리려면 적분 하한을 0으로 잡은 새 함수를 만들면 됩니다.

\textcolor{#ff0010}{H(x)=\int _0^xf(t)\, dt}

이렇게 잡는거죠. H(0)=0 이므로 H(x) 는 기함수가 됩니다. 즉,

H(-x)=\int _0^{-x}f(t)\, dt=-\int _0^xf(-u)\, du=-\int _0^xf(u)\, du=-H(x)

로 확인할 수 있죠.

그러면 이제, g(x) 를 대칭성이 보장된 항과 그 외의 항으로 분리해서 쓸 수 있습니다.

g(x)=\int _a^xf(t)\, dt=\int _0^xf(t)\, dt-\int _0^af(t)\, dt=H(x)-H(a)

문제에서 y=g(x) 가 x축과 만나는 서로 다른 점이 2개라고 했으니,

g(x)=0\ \Longleftrightarrow \ H(x)=H(a)

을 의미하게 되어서, y=H(x) 그래프와 수평선 y=H(a) 의 교점 문제로 바뀝니다.

3. (가) 조건 → c 확정

g'(x)=f(x) 이고, x=1 에서 극솟값을 가지므로 f(1)=0 이어야 합니다.

f(1)=\ln (1+1)-c=\ln 2-c=0\quad \therefore \ \textcolor{#ff0010}{c=\ln 2}

그러면 f(x)=0 의 실근은 x=±1 이고, f(x) 의 개형이 아래와 같이 한 단계 구체화 됩니다.

우함수를 적분할 때 대칭성을 살리는 방법 (feat. 2018학년도 6월 가형 30번, 정답률 8% 킬러 문제) — 그림 3

이어서 H'(x)=f(x) 이므로 H(x) 의 개형도 바로 알 수 있습니다. 즉, H(x) 는 x=-1 에서 극대, x=1 에서 극소입니다.

우함수를 적분할 때 대칭성을 살리는 방법 (feat. 2018학년도 6월 가형 30번, 정답률 8% 킬러 문제) — 그림 4

H(x) 가 기함수이므로, 극대값을 A 라 두면 극소값은 -A 입니다. (A>0)

H(-1)=A,\quad H(1)=-A

4. m 구하기

문제에서 g(x)=0, 즉 H(x)=H(a) 의 서로 다른 실근이 정확히 2개인 a 를 모두 찾으라고 했으니

H(x) 의 개형을 보고 수평선으로 처리하면 쉽습니다.

즉, 수평선 y=k 와의 교점 개수는

|k|<A 일 때 3개, |k|=A 일 때 2개, |k|>A 일 때 1개

입니다. 따라서, 교점이 정확히 2개가 되려면 H(a)=A 또는 H(a)=-A 이어야 합니다. 아래의 그림과 같이 빨간점 4개가 가능함을 알 수 있습니다.

우함수를 적분할 때 대칭성을 살리는 방법 (feat. 2018학년도 6월 가형 30번, 정답률 8% 킬러 문제) — 그림 5

즉, H(a)=A 를 만족하는 a 는 a=-1 과 a=γ (γ>1) 이고,

H(a)=-A 를 만족하는 a 는 a=1 과 a=-γ 이죠.

그리고, 기함수의 대칭성에서 H(γ)=A 이면 H(-γ)=-A 임을 알 수 있습니다.

따라서, 작은 수부터 나열하면

\alpha _1=-\gamma ,\quad \alpha _2=-1,\quad \alpha _3=1,\quad \alpha _4=\gamma

이고, m=4 가 확정됩니다.

5. (나) 조건 → k 구하기

a=α₁=-γ 일 때를 보면, H(-γ)=-A 이므로, g(x)=H(x)-(-A)=H(x)+A 입니다.

(나) 조건의 좌변을 계산해보면,

\int _{\alpha _1}^{\alpha _m}g(x)\, dx=\int _{-\gamma }^{\gamma }(H(x)+A)\, dx=\int _{-\gamma }^{\gamma }H(x)\, dx+\int _{-\gamma }^{\gamma }A\, dx

인데, H(x) 는 기함수이고, 적분 구간 [-γ, γ] 는 원점 대칭이므로

\textcolor{#ff0010}{\int _{-\gamma }^{\gamma }H(x)\, dx=0}

입니다. 대칭성을 유지한 보람이 나오는 순간이죠.

따라서, 좌변은

0+2\gamma A=2\gamma A

입니다.

이제, (나) 조건의 우변을 봅시다. α_m=α₄=γ 이고,

\int _0^1|f(x)|\, dx

에서 구간 [0, 1] 에서 f(x)≤0 이므로 |f(x)|=-f(x) 입니다. 따라서,

\int _0^1|f(x)|\, dx=-\textcolor{#ff0010}{\int _0^1f(x)dx}=-\textcolor{#ff0010}{H(1)}=-(-A)=A

이므로 (나) 조건은

2\gamma A=k\cdot \gamma \cdot A

이 되고, γ>0, A>0 이므로 양변을 나누면

\textcolor{#ff0010}{k=2}

입니다.

6. 최종 계산

m=4,\quad k=2,\quad e^c=e^{\ln 2}=2\quad \therefore \ mk\times e^c=4\times 2\times 2=\textcolor{#ff0010}{16}

이 문제를 풀면서 애써보신분이라면 제가 써놓은 풀이가 기존 나와 있는 풀이들에 비해 얼마나 간명한지 많이 공감하실거라 생각합니다.

7. 결론

수능 킬러에서 "정적분으로 정의된 함수"가 나오고, 피적분함수가 우함수이면

H(x)=\int _0^xf(t)\, dt

로 세팅하는 것이 핵심 아이디어입니다. 이 소재는 수능에서 꽤 자주 출제됩니다.

이렇게 하면,

① H(x) 가 기함수 → 극대값과 극소값의 절대값이 같다는 정보가 공짜로 나옴

② 대칭구간 적분이 0 → 복잡한 적분 계산이 한 줄로 끝남

③ g(x)=H(x)-H(a) → 교점 문제를 수평선 분석으로 환원

이걸 사용하고 나면 이 대칭성을 이용하지 않은 풀이는 쳐다보기도 어렵습니다.

제 수업에서는 킬러 문항에서 시간을 아끼기 위한 이런 구조적 셋업을 평소에 연습시킵니다.

모의고사, 수능, 학교기출의 풀이해설은

아래 사이트에 모아놨습니다.

우함수를 적분할 때 대칭성을 살리는 방법 (feat. 2018학년도 6월 가형 30번, 정답률 8% 킬러 문제) — 그림 6

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