삼각형 내심의 위치를 세 변의 길이로 나타내는 예쁜 공식 - 내신 심화, 수능 준필수 암기 공식! (feat. 각의 이등분선 정리)
삼각형 내부의 내심이 어디에 있는지를 세 변의 길이만으로 딱 표현할 수 있습니다. 중학교~수능까지 두루 써먹을 수 있는 (준)필수 암기공식입니다. 예쁘게 생겼으니 그냥 외우세요~!
1. 내심은 각의 이등분선 위에
△ABC 에서 세 변의 길이를 아래와 같이 놓겠습니다.
BC=a, CA=b, AB=c
그리고, ∠A 의 이등분선이 BC 와 만나는 점을 D 라 하겠습니다. 내심 I 는 이 선분 AD 위에 있죠.
그리고, I 는 다시 △ABD 의 ∠B의 이등분선 위에 있습니다.
그러면 각의 이등분선 정리를 두 번 쓰면, I 의 위치 AI:ID 를 a, b, c 로 나타낼 수 있습니다.
2. BD 의 길이
AD 는 ∠A 의 이등분선이므로, 각의 이등분선 정리에 의해
입니다.
(참고로, 각의 이등분선 정리는 왕기본인데 궁금하시면 지난번 글을 참고해주세요.)
따라서, BC=a 를 비례배분하면
가 됩니다.
3. AI:ID 구하기
이제 △ABD 에 주목합니다.
I 는 △ABC 의 내심이므로, BI 는 ∠B 의 이등분선입니다. 그런데, 점 D 는 BC 위에 있으므로 ∠ABD=∠ABC 이고, 따라서 BI 는 △ABD 에서도 ∠B 의 이등분선이 됩니다.
그러면, △ABD 에서 각의 이등분선 정리를 다시 적용할 수 있습니다.
여기에 AB=c 와 앞에서 구한 BD 를 대입하면
양변을 c 로 나누고 정리하면
가 됩니다.
4. 마찬가지로,
같은 원리를 ∠B, ∠C 의 이등분선에 대해서도 적용하면, 대칭성에 의해 아래 결과가 나옵니다.
즉,
내심에서 꼭짓점 쪽 길이 : 대변 쪽 길이
=
(나머지 두 변의 합) : (대변)
입니다.
5. 암기 강추
이 공식은 결과가 예쁜 모양이라 외우기도 쉽고, 활용도가 매우 높습니다.
중학교 심화 도형 문제에서 내심이 등장하면 이 비율을 아는 것만으로 풀이가 짧아지는 경우가 많고, 고등학교 기하 과목에서는 내심의 위치벡터를 유도하는 핵심 열쇠가 됩니다. 그리고, 수능에서 내심이 나오는 문제에도 엄청 유용하게 사용되는 경우가 많습니다.
제 수업에서는 이 공식은 당연 무조건 암기하게 됩니다. 중학교 심화 단계에서 사용하고, 고등학교 시험에서도 바로 써먹을 수 있도록 하기 위해서요.
다음 글에서는 이 결과를 이용해서 내심의 위치벡터를 유도해 보겠습니다.
6. 각의 이등분선 관련 참고
각의 이등분선에 대해 좀 더 알아야 할 내용은 아래에 더 있습니다.
이모지 를 보고 챗지피티에서 가져왔느냐 물으시는 분들이 있는데,
아닙니다.
제 글은 모든 글자를 빠짐없이 직접 써서 타이핑 하고 있습니다.
이 글에서 다룬 문제의 저작권은 출제 기관·출제자에게 있으며, 학습과 비평을 목적으로 낱문항만 인용했습니다. 해설과 그림은 필자가 직접 작성한 것입니다. 삭제를 원하시면 rtshhw@naver.com 로 연락 주십시오.