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알티수학 쌤 비법공개 #7 - 고교 선형 점화식을 쉽게 푸는 개꿀팁 (p,q형 & p,q,r형 숏컷)

글·그림 알티수학 쌤 · · 알티수학 인벤토리

오늘은 일반항 풀때 시간이 걸리는 두 개의 점화식을 빠르게 계산하는 방법을 알려드리겠습니다. (암산가능) 저는 오래전에 점화식을 처음 배웠을때부터 써온 방법인데 실전에서 아주 잘 먹힙니다.

편의상 'p, q 형 점화식' 이라고 했는데, 아래와 같은 점화식 입니다.

an+1=pan+qa_{n+1}=pa_n+q

이 점화식으로 부터 일반항을 구하는 숏컷(short cut)은 아래와 같습니다.

Part 1. 예제

1. 일반항의 형태를 기억해둔다

이 점화식

an+1=pan+q  (p≠1)a_{n+1}=pa_n+q\ \ (p\ne 1)

의 일반항은 등비수열에 상수항을 더한 꼴입니다. 즉, 아래와 같은 형태인데,

an=A⋅pn−1+B\textcolor{#ff0010}{a_n=A\cdot p^{n-1}+B}

공비 p 인 등비수열에 상수 B 가 더해진 꼴이죠. 이것만 기억하면 됩니다.

(단, p=1 이면 등차수열이므로, 이 숏컷의 대상이 아닙니다. 등차수열은 그냥 각자 알아서 푸세요.)

2. 예제로 해봅시다!

만약, 아래와 같은 점화식의 일반항을 풀어야 한다고 하면,

a1=5,an+1=2an−3a_1=5,\quad a_{n+1}=2a_n-3

단답형 풀이 (암산)

미리 기억해둔 대로

an=A⋅2n−1+Ba_n=A\cdot 2^{n-1}+B

라 두고,

n=1:A+B=5n=1:\quad A+B=5
n=2:a2=2×5−3=7 이므로,  2A+B=7n=2:\quad a_2=2\times 5-3=7\ \text{이므로},\ \ 2A+B=7

이고, 연립방정식을 암산으로 구합니다. 변변 빼면 A=2, 그리고, B=3. 끝!

∴ an=2⋅2n−1+3=2n+3\therefore \ \textcolor{#ff0010}{a_n=2\cdot 2^{n-1}+3=2^n+3}

이게 전부입니다. 연립방정식이

A+B=⋯A+B=\cdots
pA+B=⋯pA+B=\cdots

꼴이라 암산으로 A 가 바로 나옵니다.

서술형 풀이 (수학적 귀납법)

만약, 서술형이라면 위에서 구한 답을 '추측'으로 상정하고, 아래와 같이 수학적 귀납법을 씌우면 됩니다.

일반항이

an=2n+3a_n=2^n+3

임을 보이자.

(i) n=1 일 때:

21+3=5=a12^1+3=5=a_1\quad \textcolor{#ff0010}{}

(ii) n=k 일 때

ak=2k+3 이 성립한다고 가정하면a_k=2^k+3\ \text{이 성립한다고 가정하면}
ak+1=2ak−3=2(2k+3)−3=2k+1+3 이므로a_{k+1}=2a_k-3=2(2^k+3)-3=2^{k+1}+3\ \text{이므로}
n=k+1 일 때도 성립한다.n=k+1\ \text{일 때도 성립한다.}\quad \textcolor{#ff0010}{}

따라서 모든 자연수 n 에 대해

an=2n+3 이다.a_n=2^n+3\ \text{이다.}

이렇게 처리하면 됩니다.

즉, 실전에서는 연습장에 숏컷으로 답을 먼저 구하고, 답안지에는 "추측 → 귀납법" 으로 작성하는 거죠.

알티수학 쌤 비법공개 #7 - 고교 선형 점화식을 쉽게 푸는 개꿀팁 (p,q형 & p,q,r형 숏컷) — 그림 1

3. 3항 점화식과 예제

제목에서 편의상 'p, q, r 형 점화식' 이라고 했는데, 아래와 같은 점화식 입니다.

pan+2+qan+1+ran=0,(p+q+r=0)pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_n=0,\quad (p+q+r=0)

이 경우에도 똑같은 방식으로 처리가 가능합니다.

이 점화식도 일반항이 등비수열에 상수항을 더한 꼴이거든요. 즉, 앞의 2항 점화식과 마찬가지로 아래와 같은 형태로, p+q+r=0 일 때, 일반항은

an=A⋅(rp)n−1+B\textcolor{#ff0010}{a_n=A\cdot \left(\frac{r}{p}\right)^{n-1}+B}

꼴이 됩니다. (단, r≠p 입니다. 앞에서와 마찬가지로, r=p 이면 등차수열이 되므로, 이 숏컷의 대상이 아닙니다. 이때도 등차수열은 그냥 각자 알아서 푸세요.)

여기서도 a_1, a_2 를 대입해서 A, B 를 구하면 끝입니다.

그럼 이 꼴도 예제를 한 번 볼까요?

an+2−3an+1+2an=0,a1=1,  a2=3a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=0,\quad a_1=1,\ \ a_2=3

여기서 p=1, q=-3, r=2 이고, 1+(-3)+2=0 입니다.

단답형 풀이 (암산)

rp=2\frac{r}{p}=2

이므로

an=A⋅2n−1+Ba_n=A\cdot 2^{n-1}+B

로 놓으면

n=1:A+B=1n=1:\quad A+B=1
n=2:2A+B=3n=2:\quad 2A+B=3

이고, 변변 빼면 A=2, B=-1 로 구해서 끝입니다. 거의 암산이죠.

∴ an=2n−1\therefore \ \textcolor{#ff0010}{a_n=2^n-1}

서술형 풀이 (수학적 귀납법)

일반항이

an=2n−1a_n=2^n-1

임을 보이자.

(i) n=1 일 때:

21−1=1=a12^1-1=1=a_1\quad \textcolor{#ff0010}{}

(ii) n=2 일 때:

22−1=3=a22^2-1=3=a_2\textcolor{#ff0010}{\quad }

(iii) n=k, n=k+1 일 때 모두 성립한다고 가정하면

ak+2=3ak+1−2aka_{k+2}=3a_{k+1}-2a_k
 =3(2k+1−1)−2(2k−1)\quad \quad \ =3(2^{k+1}-1)-2(2^k-1)
 =3⋅2k+1−3−2k+1+2\quad \quad \ =3\cdot 2^{k+1}-3-2^{k+1}+2
 =2⋅2k+1−1\quad \quad \ =2\cdot 2^{k+1}-1
 =2k+2−1\quad \quad \ =2^{k+2}-1

이므로 n=k+2 일 때도 성립한다.

따라서 모든 자연수 n 에 대해

an=2n−1  이다.\textcolor{#ff0010}{a_n=2^n-1}\ \ \text{이다.}

3항 점화식의 귀납법은 초기값을 2개 확인하고, 귀납 가정도 연속 2개를 가정하는 것에만 주의하면 됩니다.

바쁘신 분들은 여기까지만 읽어도 실전에서 바로 쓸 수 있으시겠죠?

Part 2. 상세 해설

4. 배경설명

'p, q 형 점화식'의 정식 명칭은

일계선형비동차점화식(first-order linear nonhomogeneous recurrence relation) 입니다.

그리고, 'p, q, r 형 점화식'의 정식 명칭은

이계선형동차점화식(first-order linear nonhomogeneous recurrence relation) 입니다.

교육과정 고시에서는 "귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하는 문제는 다루지 않는다" 라고 명시되어 있습니다. 2015 개정 수학Ⅰ 에서 이미 이 문구가 있었고, 2022 개정 '대수' 과목은 내용 변경 없이 과목명만 바뀐 것이므로 동일한 제한이 유지됩니다.

그런데 실제로는 학교 내신에서 변별력 문제로 여전히 출제됩니다. 수능 직접 출제 가능성은 낮지만, 내신에서는 충분히 만날 수 있으므로 알아두면 좋습니다.

참고로, 예전에는 수열의 극한·무한급수 단원에서 단골로 나왔었죠.

5. 전통적인 알파법과 비교

각종 교재에서 가르치는 전통적인 '알파법' 을 같은 예제로 풀어보겠습니다.

a1=5,an+1=2an−3a_1=5,\quad a_{n+1}=2a_n-3

에서,

an+1−α=2(an−α)a_{n+1}-\alpha =2(a_n-\alpha )

으로 맞추기 위해

α=q1−p=−31−2=3\alpha =\frac{q}{1-p}=\frac{-3}{1-2}=3

을 구합니다.

bn=an−3 으로 놓으면b_n=a_n-3\ \text{으로 놓으면}
bn+1=2bn 이고,b_{n+1}=2b_n\ \text{이고},
b1=5−3=2 이므로b_1=5-3=2\ \text{이므로}
bn=2⋅2n−1=2nb_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n
따라서 ∴ an=2n+3\text{따라서}\ \therefore \ a_n=2^n+3

결과는 같죠. 하지만,

"α=pα+q 를 왜 풀어야 하는가""\alpha =p\alpha +q\ \text{를 왜 풀어야 하는가}"

를 설명하는 부분이 까다롭고, 공식으로 외우려 해도

an=pn−1(a1−q1−p)+q1−pa_n=p^{n-1}\left(a_1-\frac{q}{1-p}\right)+\frac{q}{1-p}

이 점화식이 요즘 가끔 나오는 유형이라 이것을 외우기에는 가성비가 떨어지고 외우기가 쉽지 않습니다.

알티수학 쌤 비법공개 #7 - 고교 선형 점화식을 쉽게 푸는 개꿀팁 (p,q형 & p,q,r형 숏컷) — 그림 2

참고로, 저 위의 숏컷에서 구한 B 값이

B=3=q1−pB=3=\frac{q}{1-p}

로, 알파법의 α 와 정확히 같습니다. 두 방법은 같은 결과를 다른 경로로 구하는 것이라 볼 수 있습니다.

6. 숏컷의 수학적 근거

그리고, 이 방법은 비공식적 편법인것은 아닙니다.

선형차분방정식에서 쓰는 미정계수법(method of undetermined coefficients)에 근거한 정당한 수학적 방법이라 할 수 있습니다.

an+1=pan+qa_{n+1}=pa_n+q

에서 제차해(homogeneous solution)가

C⋅pn−1C\cdot p^{n-1}

이고, 특수해(particular solution)가 상수

q1−p\frac{q}{1-p}

이므로 일반해는

an=C⋅pn−1+q1−pa_n=C\cdot p^{n-1}+\frac{q}{1-p}

입니다. 이것이 곧

A⋅pn−1+BA\cdot p^{n-1}+B

꼴이죠. 고교 시험에서 이렇게 패키징해서 가르치는 경우는 드문 편으로 알고 있는데, 제 수업에서는 오랫동안 이 방법을 써왔고 학생들이 실전에서 빠르게 처리할 수 있어서 좋아합니다.

7. 3항 점화식의 근거

한편, 3항 점화식

pan+2+qan+1+ran=0pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_n=0

에서 p+q+r=0 인 이유를 좀 더 살펴보겠습니다. 특성방정식

pt2+qt+r=0pt^2+qt+r=0

에서 t=1 을 대입하면 p+q+r=0 이 됩니다. 즉, p+q+r=0 이면 t=1 이 항상 특성근이고, 근과 계수의 관계에서 나머지 한 근은

rp\frac{r}{p}

가 됩니다. 따라서, 두 특성근이 1 과 r/p 이므로 일반해는

an=A⋅(rp)n−1+B⋅1n−1a_n=A\cdot \left(\frac{r}{p}\right)^{n-1}+B\cdot 1^{n-1}
=A⋅(rp)n−1+B\quad =A\cdot \left(\frac{r}{p}\right)^{n-1}+B

입니다. r=p 이면 중근 t=1 (이중근)이 되어

an=C1+C2na_n=C_1+C_2n

꼴이 되므로, 이 경우는 앞에서 언급한 것처럼 등차수열로 별도 처리가 필요합니다.

8. 정리

① 아래 두 가지 형태를 암기한다.

an+1=pan+q  (p≠1)a_{n+1}=pa_n+q\ \ (p\ne 1)
→ an=A⋅pn−1+B→\ a_n=A\cdot p^{n-1}+B

그리고,

pan+2+qan+1+ran=0   (p+q+r=0,  r≠p)pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_n=0\ \ \ (p+q+r=0,\ \ r\ne p)
→an=A⋅(rp)n−1+B\qquad →\quad a_n=A\cdot \left(\frac{r}{p}\right)^{n-1}+B

② 단답형: a_1, a_2 대입 → A, B 구하면 암산으로 끝.

③ 서술형: 숏컷으로 구한 답을 '추측'으로 적고, 수학적 귀납법으로 증명.

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