수심(orthocenter) 정리, 삼각형의 세 수선은 한 점에서 만날까? (feat: 수심계_orthocentric system, 원내접 사각형)
수심(垂心)은 우리 교과에 포함되어 있지 않지만, 시험에서는 은근히 (때로는 대놓고) 나오곤 합니다. 여기서는 수심의 존재성 증명과 수심계에 대해 알려드리겠습니다.
1. 수심 정리
아래 그림과 같이 △ABC 의 세 꼭짓점 A, B, C 에서 마주보는 변에 각각 수선 h₁, h₂, h₃ 를 작도했을 때, h₁, h₂, h₃ 는 한 점 H 를 지나게 됩니다.
왼쪽부터 각각 △ABC 가 예각삼각형, 둔각삼각형, 직각삼각형일 때
예각삼각형은 수심이 △ABC 의 내부에 있고, 둔각삼각형은 둔각인 꼭짓점의 바깥쪽에 수심이 생깁니다. 직각삼각형은 직각인 꼭짓점이 수심이죠.
증명 (1):
① 아래 그림과 같이 △ABC 에서 수선을 두 개만 긋고 그 교점을 P 라 합니다.
그러면 여기서, 직선 AP가 BC 와 직교함을 증명하면 증명이 완료되겠죠.
② 이제, 아래 그림과 같이 원에 내접하는 사각형이 두 개가 보입니다.
③ 직선 AP 를 이어서 D 를 작도하고, 원주각과 내대각을 표시해 봅니다. (여기서, ∠ADC=90°를 보여주면 증명이 완료됩니다.)
∠AFE=∠C (∵ 큰 원의 내대각) 이고,
∠PFE=∠PAE (∵ 작은 원의 원주각) 이죠.
변변 더하면, ∠AFE+∠PFE = ∠C+∠PAE 인데,
여기서 좌변이 ∠AFE+∠PFE=∠CFA=90° 이죠.
따라서, 우변도 ∠C+∠PAE=∠C+∠DAC=90° 입니다.
즉, △ACD 에서 ∠ADC=90° 임이 증명 됩니다.
(둔각, 직각삼각형에 대한 수심 정리 증명도 비슷한 아이디어로 진행하면 됩니다~)
증명 (2):
아래와 같이 손안대고 코푸는 증명도 있습니다. 이 증명은 레기오몬타누스 (Regiomontanus 1436-1476)의 증명으로 알려져 있습니다.
△A'B'C' 의 외심 O 가 존재함은 이미 알고 있고,
B'C', C'A', A'B' 의 중점을 각각 A, B, C 라 하면, O 는 △ABC 에서 세 꼭지점에서 마주보는 변에 내린 세 수선의 교점이므로 수심이 존재할거라는 신박한 아이디어입니다.
가지런하게 증명을 써보면, 아래와 같습니다.
A 를 지나고 BC 에 평행한직선,
B 를 지나고 CA 에 평행한직선,
C 를 지나고, AB 에 평행한 직선을 작도해서 △A'B'C' 을 만든다.
□ABCB', □ACBC' 이 평행사변형이므로, AB'=BC=AC' 이 되어 A 가 B'C' 의 중점이다.
즉, AD 는 B'C' 의 수직이등분선이다.
마찬가지로, BE, CF 도 수직이등분선이므로, 그 교점은 △A'B'C' 의 외심이다.
그러므로, △ABC 의 수심은 △A'B'C' 의 외심이므로 존재한다.
알아두면 쓸데없지만,,, 레기오몬타누스는 15세기 독일 수학자겸 천문학자로 본명은 요하네스 뮐러 입니다. 출신지가 쾨니히스베르크인데, 쾨니히스베르크를 라틴어로 레기오몬타누스라 했다네요.. 당시에는 학자들이 라틴어로 자기 출신지를 이름으로 삼는 희한한 관습이 있었다 합니다.
증명 (3):
체바 정리 쓰면 간단히 증명 됩니다.
아래와 같이 세 수선의 발을 각각 D, E, F 라 하고, (여기서 AD, BE, CF 가 한 점에서 만나는지는 아직 모르는 상태이고,) BC=a, CA=b, AB=c 라 하겠습니다.
이므로, AD, BE, CF 는 한 점에서 만남을 알 수 있죠.
2. 원내접사각형 6개
수심에 딸려있는 원내접사각형이 6개가 있는데, 중요합니다.
이렇게 3개가 있고,
아래처럼 3개가 있습니다.
3. 수심계_orthocentric system
△ABC 와 수심 H 에 대해 네 점 A, B, C, H 는 네 점 중 어느 한 점은 나머지 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 수심이 됩니다. 아래 그림을 보면 쉽게 확인이 가능합니다.
그리고, 수심계를 이루는 4개의 삼각형(△ABC, △ABH, △BCH, △ACH)의 외접원은 모두 합동(반지름이 같음)입니다.
아래 그림에서
△ABC 의 외접원의 반지름은 사인법칙에 의해
이고,
△BCH 의 외접원의 반지름은 마찬가지로 사인법칙에 의해
인데, ∠BHC=∠EHF=180°-∠A 이므로 두 식은 값이 같음을 알 수 있습니다. 마찬가지 방법으로 △ABH, △ACH 의 외접원도 같음을 쉽게 알 수 있죠.
그 외에도 수심에서는 세르보어 정리와, 오일러 직선 관련한 내용도 중요합니다.