4차 함수 추론하는 해운대고 기출 계산 문제 알티쌤 해설 (2025년 해운대고 2학년 1학기 기말 수2 기출 13번)

글·그림 알티수학 쌤 · 2026-01-19 · 고2 수학

학생들이 많이 물어보던 재미있는 함수 추론 문제입니다. 실전에서 계산량을 줄이려면 이런 유형에 대해 연습해두어야 합니다.

문제는 아래와 같습니다.

4차 함수 추론하는 해운대고 기출 계산 문제 알티쌤 해설 (2025년 해운대고 2학년 1학기 기말 수2 기출 13번) — 그림 1

1. 문제 입력

문제를 읽어보면, f(x) 가 미정계수 a, b 두 개를 포함한 채로 주어져 있고, 문제의 주어진 조건에 맞는 g(x) 를 추론하는 문제입니다.

즉, g(x) 는 미분 가능한 감소함수이고, [0, 2), [2, 4) 구간에서의 g(x) 모양은 (나), (다) 에서 알려주고 있는데, 정적분은 [0, 6] 에서 풀으라고 하고 있네요. 그러면 [4, 6] 구간을 어떻게 채울것인지 고민을 해야 합니다.

준킬러 수준은 되어 보이는데, 이 유형의 문제를 미리 연습해 두지 않으면 시간안에 풀기가 쉽지 않습니다.

2. 풀이

f(x) 의 개형을 만약 아래 처럼 가정하면, g(x) 는 감소함수이므로 f(x) 의 감소구간만을 조립해서 매끄럽게 연결해야 하죠. 즉, 그림에서 파란색, 초록색 부분만 사용할 수 있습니다.

4차 함수 추론하는 해운대고 기출 계산 문제 알티쌤 해설 (2025년 해운대고 2학년 1학기 기말 수2 기출 13번) — 그림 2

g(0)=f(0) 이고, g(2)=f(0)+k 인데, g(x) 가 감소함수 이어야 하므로, k 는 양이 아닙니다. 또, g(x) 가 x=2 에서 연속이어야 하므로, f(2)=f(0)+k 가 되어야 하죠.

그리고, g(x) 가 x=2 에서 미분가능이어야 하므로, f'(2)=f'(0)=0 이어야 합니다. 따라서, [0, 2] 구간은 극대점에서 극소점까지일 수밖에 없고, f(0) 가 극대, f(2) 가 극소가 됩니다. 즉, 위의 그림에서 g(x) 는 파란색 부분만 이용해서 연결하고 이어 붙여야 합니다.

또, 여기서 f'(2)=-32+ 12a+4b=0 를 하나 처리하면 b=8-3a 가 되므로 필요할 때 b 를 소거해서 a 로 바꿀 수 있습니다.

그리고, x>4 일 때는 수평선으로 처리되어야 문제에서 주어진 정적분 값을 최소로 할 수 있습니다.그러면, 이 수평선은 y=2k 가 되겠죠.

여기까지 추론을 종합하면, g(x) 의 개형은 아래와 같습니다.

4차 함수 추론하는 해운대고 기출 계산 문제 알티쌤 해설 (2025년 해운대고 2학년 1학기 기말 수2 기출 13번) — 그림 3

참고로, x<0 부분은 감소하거나 수평이면 되는데, 문제에서 묻지 않았으므로 굳이 신경쓰지 않아도 됩니다.

이제, b 는 a 에 의해 결정되고, k 도 a 에 의해 결정되므로, 정적분을 계산해서 a 에 관한 식으로 처리하면 되죠. 즉,

S(a)=\int _0^6|g(x)|dx

로 두고 계산하면,

4차 함수 추론하는 해운대고 기출 계산 문제 알티쌤 해설 (2025년 해운대고 2학년 1학기 기말 수2 기출 13번) — 그림 4

가 됩니다. 계산이 빡쎕니다ㅠ k=f(2) =16-4a 이고,

\int _0^2f(x)dx=-4a+\frac{224}{15}

가 됩니다. 숫자도 더럽습니다ㅠ 끈기있게 계산을 하면,

4차 함수 추론하는 해운대고 기출 계산 문제 알티쌤 해설 (2025년 해운대고 2학년 1학기 기말 수2 기출 13번) — 그림 5

인데, 결국 a 의 일차식이 나옵니다. (여기서는, a 의 일차식이라는 사실이 중요해서 복잡한 상수부분은 일단 C 로 놔뒀습니다.)

평소에 열심히 공부했다면 여기서, a 의 범위를 확정해 줄, 아직 사용하지 않은 조건이 있음을 처음부터 염두에 두고 있었겠지만, 만약 그렇지 않다면 여기서 멘붕이 납니다.

즉, 아래 그림에서 4차함수 f(x) 의 오른쪽 극대점이 극소점 x=2 보다 반드시 오른편에 있어야 하는것을 기억하고 있어야 합니다.

4차 함수 추론하는 해운대고 기출 계산 문제 알티쌤 해설 (2025년 해운대고 2학년 1학기 기말 수2 기출 13번) — 그림 6

즉,

f"(x)=-x(4x^2-3ax-2b)\quad \text{에서}\quad x\ge 0\quad \text{이므로}

4x^2-3ax-2b=0\ \text{의 두 근이 2 와 2 보다 큰 근}\alpha \ \text{를 가져야 합니다.}

근과 계수의 관계에서

2+\alpha =\frac{3a}{4}\text{이므로}\quad \alpha =\frac{3a}{4}-2\ge 2\ \text{에서}

a\ge \frac{16}{3}\ \text{입니다.}

\text{그러므로,}\ S(a)\ \text{는}\ \ a=\frac{16}{3}\text{일 때 최소가 되고,}

k=16-4\left(\frac{16}{3}\right)=-\frac{16}{3}\text{이고,}\ \ S\left(\frac{16}{3}\right)\text{을 계산하면,}

4차 함수 추론하는 해운대고 기출 계산 문제 알티쌤 해설 (2025년 해운대고 2학년 1학기 기말 수2 기출 13번) — 그림 7

이 됩니다. 따라서, p=5, q=224 라서 q-p=219 가 답이 됩니다.

3. 참고

이 유형은 나름 빈출유형이라 미리 공부해두면 시간을 많이 아낄 수 있습니다. 이 시험의 경우 숫자는 좀 더럽긴합니다만.. 이 문제는 머릿속으로 따다닥 풀어서 5~6분 정도에 해치워야 하는데, 계산만으로도 시간이 만만찮습니다.

참고로, 적분을 열라게 계산하면 결과론적으로 x=2 에서 변곡점임을 알 수 있습니다만, 공부 좀 한 학생이라면 적분 계산없이 바로 변곡점인것을 알고, 빠르게 처리할 수 있습니다. 즉, f'(x) = 0 의 해가 0, 2, 2 임을 알고 숏컷으로 바로 진행할 수 있는거죠. 정적분 값이 최소가 되려면 x=2 에서 언더슈팅이 최소로 일어나야하고 그러려면 f'(2)=f''(2)=0 인 상태가 가장 이상적이라는 것은 테일러 정리나 뉴턴역학으로 부터 쉽게 알 수 있습니다.

그리고, 이 시험에서 이 문제가 가장 시간을 많이 잡아먹는 문제였던것은 아니었습니다. 시간과 에너지가 많이 들어가는 이것보다 바쁘게 풀어야 하는 문제가 2개나 더 있었으니,,, 해운대고 내신을 잘 받으려면 상당한 연습과 숙달이 필요합니다.

모의고사, 수능, 학교기출의 풀이해설은

아래 사이트에 모아놨습니다.

4차 함수 추론하는 해운대고 기출 계산 문제 알티쌤 해설 (2025년 해운대고 2학년 1학기 기말 수2 기출 13번) — 그림 8

#4차함수 #극대극소 #함수추론 #정적분 #미분가능 #해운대고수학