객관식 문제의 구조적 한계로 시간 단축하는 법: 해강고 2학년 미적분 기출 17번 (2025년 2학기 기말)
지난주 해강고 2-2 미적분 기말고사에
출제되었던 17번 적분 계산 문제를
찬찬히 살펴 보겠습니다.
문제는 아래와 같습니다.
해강고 이번 기말 시험에서
시간이 오래 걸리는 문제가 3문제가 있는데,
그 중 하나가 이 문제입니다.
이 시험은 타임어택으로 시간이 꽤 쫓기기 때문에
몇 분 단축하는것은 그 자체로
점수를 더 받는것과 같다고 볼 수 있습니다.
다른 한 문제를 더 풀 수 있는 기회가 생기기 때문이죠.
그래서 여기서는
메타추론으로 시간을 아끼는 풀이와
정상적인 풀이 두 가지를 알려드리겠습니다.
참고로, '메타추론' 이란
문제의 수학적 내용과 함께,
문제가 출제된 의도, 맥락, 형식들을 단서로
답을 추론하는 과정을 의미합니다.
모범 풀이를 모두 다룰 수 있는 수준이 된
최상위권 학생이 한,두 학기 더 내공이 쌓이면
점차 메타추론을 하게 되면서
극상위권(고인물)이 되어가죠.
1. 메타 추론 풀이
문제에서 주어진 조건
을 보면, 많이 보던 모양이라
아래와 같은 형태가 보입니다.
x와 1/x 의 대칭성이 보이죠.
이 조건식을 만족하는 함수 f 에 대해
의 값을 구하는 것이 문제입니다.
여기서, 메타적 생각이 떠오릅니다.
조건식을 만족하는 f 가 존재하지 않는다면
문제가 오류일것이고,
조건식을 만족하는 f 가 여러개 존재한다면
서로 다른 f 가 서로 다른 적분값을 낼텐데
그러면 문제가 오류가 나죠.
객관식 문제니까요.
출제자가 오류를 낼 리가 없다고 믿는다면,
즉, f 는 존재할것이고, 여러개가 존재한다 하더라도
답은 일정하게 하나로 나와야 할것입니다.
그렇지 않으면 문제 오류가 되니까요.
그래서 아무거나 가장 쉬운것을
잡아서 계산했을때 정답이 나와야 됩니다.
따라서, 조건식을 만족하는 가장 쉬운 함수 f 를
하나 찍어서 그냥 단순 계산하면 됩니다.
를 보면,
로 반띵해서 잡으면 마침 조건식을 잘 만족합니다.
그러면,
에서,
이므로
을 치환적분하면
로 답이 나옵니다.
이렇게 하면 푸는 시간은 1~2분 정도 걸리겠네요.
학생들과 이런 이야기 하면서 수업하다보면
학생들 실력도 늘고 재미도 있습니다.
물론, 기초가 탄탄하게 되어 있어야
이런 저런 말도 안되는 이야기를 해볼 수 있겠죠.
이 문제의 출제 의도는
함수방정식으로 fake 를 한 번 주고,
치환적분으로 정적분을 계산하는 스킬을
물어보고 싶었을 것인데,
서술형 문제로 냈어야 그 의미를 살릴 수 있었을 것
같네요.
2. 모범 풀이 (1)
모범적인 풀이는 아래와 같습니다.
3. 모범 풀이 (2)
x=tanθ 로 해도 엘레강트하게 나옵니다.
모의고사, 수능, 학교기출의 풀이해설은
아래 사이트에 모아놨습니다.
저희 학원 (센텀 알티수학) 은
부산 해운대 센텀에 있습니다.
이 글에서 다룬 문제의 저작권은 출제 기관·출제자에게 있으며, 학습과 비평을 목적으로 낱문항만 인용했습니다. 해설과 그림은 필자가 직접 작성한 것입니다. 삭제를 원하시면 rtshhw@naver.com 로 연락 주십시오.