피타고라스 수 7:24:25 직각삼각형의 비밀, 여명중 2학년 기말 20번 (2025 2학기 수학 기출) 백점방지 문제
이번 여명중 시험에
재미있는 문제가 나왔네요.
풀이와 관련 지식을 알려드리겠습니다.
2025년 여명중 2학년 2학기
기말고사 20번 입니다.
1. 닮음 풀이
푸는 방법은 여러가지이지만
제가 풀어본 중2용 풀이는 아래와 같습니다.
(1) AC, CD 계산
피타고라스 쓰면 AC=25, CD=20 입니다.
(2) 보조선
아래 그림과 같이
CD, BE 의 연장선의 교점 P 를 잡습니다.
그러면, △PAD∽△PCB (AA) 가 됩니다.
(∵ ∠P 공통, ∠PDA=∠PBC=90°)
그리고, 닮음비는 AD:CB=15:20=5:8 입니다.
즉, PD:PB=PA:PC=5:8 을 풀면
PD=20, PA=25 가 됩니다.
그러면 PD=DC 가 되므로,
△PCA 에서 중점연결정리에 의해
가 답이 됩니다.
2. 7:24:25 삼각형
학교 시험에 피타고라스 수는 주로
3:4:5 와 5:12:13 의 두 가지만 나왔었는데,
최근에는 7:24:25 도 종종 보이네요.
그런데 7:24:25 는
3:4:5 와 밀접한 관계가 있습니다.
즉,
7:24:25 의 큰 예각은
3:4:5 의 작은 예각의 두 배 입니다.
이것은 나중에 삼각함수를 배우면
쉽게 알 수 있는데,
여기서는 아래와 같이 간단하게 확인만 해보죠.
그림과 같이 7:24:25 직각삼각형
△ABC 에서 큰 예각인 ∠A 의 이등분선과
BC 의 교점을 Q 라 하고,
각의 이등분선 정리를 써보면,
이 되죠.
즉,
△ABQ 는 3:4:5 직각삼각형이 됩니다.
3. 풀이 (2)
만약, 앞의 2를 미리 알고 있다면,
여명중 문제는 더 쉽게 풀립니다.
아래 그림에서 AC 의 중점을 O 라 하면
O 는 두 직각삼각형 △ABC, △ACD 의 외심입니다.
(∵ 빗변의 중점)
문제에서 평행선 조건이 주어졌으므로
∠CAD=∠ADE=β 이고, (빨간색 표시 각)
여기서 만약
2×∠ACD = ∠CAB=2α 를 알고 있다면,
θ=β 임을 쉽게 알 수 있죠.
(∵ α+β=90° 라서 2α+2β=180°)
그러면, EAOD 가 마름모임을 알 수 있고,
(∵ AE//OD, AO=OD)
가 됩니다.
4. 의외로 맞추기 쉽다
이 문제는 아마도 백점방지를 위해
출제한 것으로 보입니다. 그렇지만,
그림과 같이 DO 를 살짝 그어보면
EAOD 가 마름모 티가 너무 많이나므로
학생들이 적절히 추측으로 찍어서 맞출 수
있었을 것으로 보입니다.
서술형으로 냈어야 문제의 의도를 살릴텐데,,
그런데 만약 그랬다면 채점이 힘들겠죠.
5. 그 외 아이디어
문제의 그림을 보면 그 외에도 사용할 수 있는
장치들이 많이 있습니다.
특히, ABCD 가 원내접이라 해볼 수 있는것이 많고,
피타고라스도 다양하게 쓸 수 있고,
톨레미 정리를 써서 BD 를 구한뒤
각찾기로 진행할 수도 있고,
B를 원점으로 좌표를 잡아서 풀어도 되고,
그 외 복소수나 벡터도 잘 됩니다.
센텀 알티수학 은
부산 해운대에 있는 학원입니다.
이 글에서 다룬 문제의 저작권은 출제 기관·출제자에게 있으며, 학습과 비평을 목적으로 낱문항만 인용했습니다. 해설과 그림은 필자가 직접 작성한 것입니다. 삭제를 원하시면 rtshhw@naver.com 로 연락 주십시오.