26회 러시아 수학 올림피아드 삼각형 닮음 문제를 한번 풀어 보아요~ (feat. 블랙라벨 2-2 도전문제, 평면기하의 아이디어 예제)
오늘은 블랙라벨 2-2 문제집에
뜬금없이 들어가 있는 경시 문제에 대해
살펴보겠습니다.
이 문제는 평면기하의 아이디어라는 책에도
예제로 수록되어 있습니다.
오늘 풀어볼 문제는
아래와 같습니다.
먼저 문제의 뜻에 맞게
그림을 그려보면 아래와 같습니다.
참고로, 이 문제는
All-Russian Olympiad of Schoolchildren
(26회) 에 출제된 문제입니다.
1. 풀이
이 문제를 풀기 위해서는
문제에서 주어진 각조건 ∠ABC=∠DCB 을
잘 활용해야 하는데
어떻게 잘 쓸것인가가 쉽지 않습니다.
이것저것 시도해 보다보면
∠ABC=∠DCB 로는 사용이 어려우니
아래와 같이 변형해서 사용합니다.
180°-∠ABC=180°-∠DCB
그리고, △ABD 의 외접원을 생각하면
내대각의 성질로 ∠PAB 를 옮길 수 있는데,
아래 그림과 같은 E 점을 찾게 되죠.
즉, 원의 효과에 의해
∠DEB=∠PAB (내대각) 이 되므로,
이 E 점은 아래와 같이
두 쌍의 닮음 삼각형을 만들어냅니다.
△PAB∽△PED (AA)
△PAB∽△DEC (AA)
대충 느낌에도 이 E 는 매우
답스럽다라는 것을 암시합니다.
두 쌍의 닮음 이후 진행은 쉽습니다.
좌변의 PA·PD 는 P의 방멱이고,
PE 를 PC+CE 로 잘라서 써주면 됩니다.
이고,
이제, 우변의 둘째항 PB·CE 가 AB·CD 인것만
확인하면 증명이 끝나는데,
이것은 △PAB∽△DEC (AA) 로부터
바로 알 수 있습니다.
2. 난이도?
학교 내신 수준은 대체로
주어진 그림에서 닮음을 찾아내는 정도이고,
닮음을 작도해서 만들어야 하는 문제는
올림피아드 수준의 문제입니다.
3. 블랙라벨 2-2 에서
아래와 같이 똑같은 문제가 있습니다.
위의 러시아 올림피아드 문제의 결과인
를 이용하면,
으로 간단히 답이 나옵니다만...
내신 문제집에 들어갈 수준의 문제는
아니지 않을까라는 생각이 듭니다..
그래서, 시험을 앞 둔 학생들은
공식만 살짝 외워 두는것도
괜찮을것 같습니다~
4. 평면기하의 아이디어 에도
아래와 같이 똑같은 문제가 있습니다.
평면기하의 아이디어(평기아)에 있던 문제가
블랙라벨이나 그외 심화문제집으로
인용된 문제가 꽤 여러 개 있습니다.
요즘, 더 좋은 문제도 많은데
수십년 된 오래된 문제들이
아직도 돌고 도는 상황이 조금 아쉽네요.
저희 학원 (센텀 알티수학) 은 부산 해운대 센텀에 있습니다.
