센텀중 2학년 2024년 2학기 기말고사 1차원 랜덤워크 문제 리뷰

글·그림 알티수학 쌤 · 2025-12-05 · 중2 수학

기말고사가 며칠 안남았네요.

작년 센텀중 2학년 문제를 하나 살펴보겠습니다.

이 문제는 쉽지만,

이런 문제에 쓰이는 아이디어는

아래와 같습니다.

2024년 센텀중 2학년 2학기 기말고사 12번 입니다.

센텀중 2학년 2024년 2학기 기말고사 1차원 랜덤워크 문제 리뷰 — 그림 1

이 문제 자체는 어려운 문제가 아닙니다.

풀이는 간단하게 몇번의 NGD 를 뛰면 됩니다.

(NGD : 노가다)

참고로,

이렇게 확률적으로 점이 움직이는 것을

랜덤 워크(random walk) 라고 하는데,

확률론, 물리학, 금융 등에서 다루는 분야입니다.

1. 풀이

단순히

각 가능한 경우를 다 따지면 됩니다.

(1) 모두 앞면이 나오는 경우:

(H, H, H, H) 꼴이고,

이 때 위치는 4 에 도착하죠.

그리고, 이 경우의 수는 1가지 입니다.

(2) 앞면 3회, 뒷면 1회인 경우:

(T, H, H, H), (H, T, H, H),

(H, H, T, H), (H, H, H, T) 꼴이고,

이 때 위치는 3-1=2 에 도착합니다.

이 경우의 수는 4가지 입니다.

(3) 그 외의 경우는 좀 해보면

안된다는것을 쉽게 알 수 있습니다.

따라서, 구하는 확률은

\frac{1+4}{2^4}=\frac{5}{16}

입니다.

이런 류의 문제를 풀 때 사용되는

아이디어들과 함께 좀 더 몇 가지 생각을

해 보겠습니다.

2. 홀짝성

문제의 조건을 보면,

동전을 던질때마다 자리가

+1 되거나 -1 되고 있습니다.

즉,

동전을 던질때마다 홀짝성이 바뀝니다.

처음 자리가 0 이었고,

동전을 던지면 +1 또는 -1 로 가는 방식이니

동전 던지는 횟수와

P점이 머무는 자리의 홀짝성이 같습니다.

따라서,

동전을 4회 던진다고 했으니

P 점이 도착하는 자리는 짝수이어야 합니다.

센텀중 2학년 2024년 2학기 기말고사 1차원 랜덤워크 문제 리뷰 — 그림 2

따라서, 문제에서 찾는 경우의 수는

P 의 위치가 2, 4 뿐입니다.

즉, P 의 위치가 3 인 상황을

찾아 해맬 필요가 없다는 겁니다.

3. 이항정리

수학 올림피아드 같은 재미있는 시험에

관심이 있는 학생들은

이 문제를 보면, 아래와 같은 전개식을

떠올릴겁니다.

센텀중 2학년 2024년 2학기 기말고사 1차원 랜덤워크 문제 리뷰 — 그림 3

즉, 분모가 되는 전체 경우의 수는

1+4+6+4+1 이고

문제의 요구조건을 만족하는 경우의 수는

우변의 첫 두항에 해당하는

1+4라서,

\frac{5}{16}

가 답이 됨을 알 수 있습니다.

요컨데,

앞 2의 홀짝성을 알고있고,

이항정리

센텀중 2학년 2024년 2학기 기말고사 1차원 랜덤워크 문제 리뷰 — 그림 4

를 떠올리게 되면,

암산으로

\frac{5}{16}

임을 아는거죠.

4. 이항분포

사실, 이 문제는 이항분포 예제 그 자체 입니다.

즉,

앞면이 나오는 횟수를 확률변수 X 로 놓으면

X 는 이항분포

B\left({4,\ \frac{1}{2}}\right)

를 따릅니다.

P 점이 도착하는 좌표를 Y 라 하면,

Y=(+1)\cdot X+(-1)\cdot (4-X)

\ \ =2X-4

이고,

문제의 요구조건은

Y\ge 2

이므로, 즉,

2X-4\ge 2\ \Leftrightarrow \ X\ge 3

이죠.

따라서,

P(X\ge 3)=P(X=3)+P(X=4)

\qquad \quad \ \ =_4C_3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^1+_4C_4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)^0

\quad \quad \quad \ \ =\frac{5}{16}

이 됩니다.

모의고사, 수능, 학교기출의 풀이해설은

아래 사이트에 모아놨습니다.

저희 학원 (센텀 알티수학) 은

부산 해운대에 있습니다.

센텀중 2학년 2024년 2학기 기말고사 1차원 랜덤워크 문제 리뷰 — 그림 5

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