문제 오류 분석, 해강중 2-2 수학 2025 중간고사 기출 10번 (feat. 내심을 지나는 평행선 문제)
엊그제 치뤄진 2-2 중간고사의 한 문제를
살펴보겠습니다.
문제는 아래와 같습니다.
1. 아마도
동떨어진 두 선분 AE 와 BI 의
길이의 합을 구하는 문제입니다.
아마도 추측컨데 모범 답안은
CI 가 ∠C 의 이등분선이므로,
∠ICB = ∠ICE = θ 라서 ∠ECB = 2θ 가 되죠.
그러면 ∠IBC = ∠ECB 가 되므로,
사각형 IBCE 가 등변사다리꼴이어서
IB = EC 가 됩니다. 그러므로,
가 됩니다.
이때, AB = 3 과 BC =6 은
교란작전인가요?ㅋ
2. 그런데,
AB = 3 과 BC =6 조건 때문에
문제가 생깁니다.
즉, 세 변의 길이가 3, 5, 6 인 삼각형은
∠B = 2∠C 가 안됩니다.
이것은 삼각형의 세 변의 길이로부터
cos B 와 cos 2C 를 계산해보면
같지 않기 때문에 확인가능합니다.
입니다. 또,
에서,
이므로, 계산해보면,
가 됩니다. 즉,
입니다.
즉, 서로 모순인 과조건이 포함되어 있어서
어떤 조건을 선택하는지에 따라
서로 다른 답이 나오게 됩니다.
예를 들어,
삼각형의 세 변의 길이만으로
AE, IB 의 길이 계산이 가능한데,
△DIB, △EIC 가 이등변삼각형인것과
△ABC ∽ △ADE (평행선 닮음) 을 쓰면
이 나옵니다.
IB 의 길이는
(1) 삼각함수로 밀어붙이거나
(2) 각의 이등분선 길이 공식을 두 번 쓰거나
(3) 평면좌표에서 계산하거나
하면,
약간의 계산을 거쳐서
이 나옵니다.
그러면,
이 답이 됩니다.
3. AE 계산
각의 이등분선과 평행선에 의해
같은 각을 찾아서 아래 그림과 같이
θ, 2θ 를 표시해보면
△DIB 와 △EIC 는 이등변삼각형입니다.
즉, DI = DB 이고, EI = EC 이죠.
또, DE//BC 이므로, △ABC ∽ △ADE 이고,
닮음비는 둘레의 길이비로 해도 됩니다.
△ABC 의 둘레는 3+6+5 = 14 이고,
△ADE 의 둘레는
이므로, 닮음비는 14 : 8 = 7 : 4 입니다.
따라서, AE : AC = 4 :7 에서
이 됩니다.
4. IB 계산
아래 그림과 같이
AI 의 연장선과 BC 의 교점을 L 이라하면
∠A 의 이등분선 정리에 의해
BL : LC =3 : 5 이므로,
BL = 9/4, LC = 15/4 가 됩니다.
따라서,
가 되고,
이제, △ABL 에서 ∠B 의 이등분선 정리로
이므로,
이 됩니다. 따라서,
이 나온답니다.
(숫자 계산은 좀 복잡합니다만..)
모의고사, 수능, 학교기출의 풀이해설은
아래 사이트에 모아놨습니다.
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