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알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle)

글·그림 알티수학 쌤 · · 중2 수학

학생들이 시험 직전에 외우고 들어갈 수 있는

중2-2 에 빈출하는 닮음 문제 한가지 유형의

답을 바로 구하는 공식을 만들었습니다.~

1. 문제와 닮음 풀이

오늘 다뤄볼 문제는 아래와 같습니다.

알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 1

해설지 풀이는 아래와 같구요.

알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 2
알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 3

복잡하죠...

이 문제를 풀 수 있는 수준인 학생들도

이 문제를 푸는데는 시간이 좀 걸립니다.

다른 문제집 하나 더 보겠습니다.

알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 4

해설지 풀이는 아래와 같구요.

알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 5

앞의 문제보다는 보조선이 큼직해서 좋네요.

그렇지만 여전히 간단하지는 않습니다.

이렇게, 이 문제를 풀 수 있는 보조선은

(그 외에도) 많습니다.

저는 수업에서 알려주는 보조선은

E 를 지나고 AC 와 평행한 직선과

직선 DF 의 교점을 Q 로 잡아서,

△APF∽△EPQ (AA) 의 닮음비로 해결합니다.

알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 6

즉,

AP:PE=AF:EQ

인데,

AF 는 쉽게 구해지고, EQ 는

EQ = ER - RQ

에서 구하면 됩니다.

ER 은 △BER∽△BCA (AA) 에서

평행선 닮음으로 구하고,

RQ 는 두 이등변삼각형

△DQR∽△DFA (AA) 에서

평행선 닮음으로 구하면 됩니다.

그렇지만, 이 계산도 간단하지는 않습니다.

2. 불편함

이 문제는 중등 KMO 1차에 나올만한 수준의

계산문제라서 학생들이 많이 물어봅니다.

풀이를 다 공부해도 다시 풀면 서투른 경우가 많구요.

개인적으로 이 문제를 왜 내신 문제집에 넣어놨는지

다소 불만입니다.

답지 풀이가 살짝 구리기도 하구요.

보통은 이 문제처럼 두 쌍 이상의 닮음을 만들고,

그것을 엮어서 활용하는것은

학교 내신에서 다루기에는 쉽지 않습니다.

닮음을 찾는것과 닮음을 만드는것은

초심자에게는 체감 난이도가 큽니다.

닮음을 만드는 단계 이전에 닮음을 찾는 연습을

충분히 해야 단계적으로 숙달이 되기 때문입니다.

만약 누군가가 이 문제를 꼭 내신에 넣고 싶었다면,

사이에 징검다리가 되는 문제들을 좀 더 배치해서

단순한 문제에서 복잡한 문제로

자연스럽게 발전할 수 있도록 배려하는

빌드업이 필요해 보입니다.

3. 공식으로 만들기

그래서 제가 시험직전의 모든 학생들을 위해

이 문제의 답을 구하는 공식을 만들었습니다.

알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 7

위의 그림에서,

AD = AF = x

BD = BE = y

CE = CF = z

라 할 때,

AP : PE=x : 2yzy+z\textcolor{#ff0010}{{AP\ :\ PE=x\ :\ \frac{2yz}{y+z}}}

입니다.

즉,

x 와 y,z 의 조화평균의 비율입니다.

암기하기도 편하죠.

시험 직전에 살짝 외워두면

30초 내로 풀 수 있습니다.

실제로, 저의 학생들 모두가 좋아했습니다.

ㅋㅋ심지어 KMO 수상했던 학생들도요.

그러면 맨 앞의 문제에 적용을 해볼까요?

알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 8
AD=12(AB−BC+CA)=6AD=\frac{1}{2}\left(AB-BC+CA\right)=6

이고, 순차적으로

BD = DE =5,

EC = CF = 4

입니다. 따라서,

x = 6, y =5, z=4 이죠.

이제 이것을 앞의 공식에다 넣으면

AP : PE=x : 2yzy+z=6  : 2⋅5⋅45+4AP\ :\ PE=x\ :\ \frac{2yz}{y+z}=6\ \ :\ \frac{2\cdot 5\cdot 4}{5+4}

이므로, 27:20 이 바로 나옵니다.

4. 공식유도 과정

관심이 있으실지 모르겠지만,

공식의 유도과정도 알려드리겠습니다.

닮음을 만드는 보조선을 그리는 방법보다는

좀 더 시스템적으로 풀기 위해 넓이를 사용했습니다.

알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 9

참고로, 위의 그림에서 △DEF 를

contact triangle 또는 incentral triangle 이라 합니다.

(고켐에서 한번씩 나오는 삼각형입니다.)

알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 10
알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 11

AP : PE 의 의미는

△ADF 와 △EDF 의 넓이비로 볼 수 있습니다.

두 삼각형이 밑 변 DF 를 공유하고 있으니,

A 와 E 에서 DF 에 수선을 내려보면

쉽게 확인이 가능합니다.

알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 12

그러면, AP : PE 를 구하기 위해서,

알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 13

를 구하면 되죠.

먼저 삼각형 둘레의 절반을 s 라 합니다.

알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 14

그러면, x, y, z 를 구해보면,

알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 15

△ABC 의 넓이를 기준으로

다른 삼각형들의 넓이의 비율을 표현해보면,

알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 16

이므로,

알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 17

입니다.

그리고, △EDF 의 넓이는

알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 18

이므로, 계산하면,

알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 19

이고, 우변을 통분하면,

알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 20

따라서,

알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 21

에서, 약분하고 정리하면,

알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 22

입니다.

그런데 너무 복잡해 보입니다,,

우변의 두번째 분수가 대칭식이라

좀 더 다듬어 볼만해 보입니다.

각 항이 기하적 의미를 가지므로

여러가지 변형이 가능하지만,

저는 식을 x, y, z 에 관한 식으로 바꾸고 다시 썼습니다.

그랬더니 인수분해가 되고 약분이 잘 됩니다. 그래서,

APPE=x2yzy+z\frac{AP}{PE}=\frac{x}{\frac{2yz}{y+z}}

가 이쁘게 잘 나옵니다.

이 정도면 좋아 보이네요.

다시 s 를 사용해서 적어보면 아래와 같이 써집니다.

알티수학 쌤 자작 공식, 중2-2 삼각형의 닮음 빈출 문제 (feat. 내접원, incentral triangle, contact triangle) — 그림 23

이것도 답스러운 느낌입니다.

즉, 아래 모양으로 외우세요.

xy 와 z 의 조화평균\textcolor{#ff5f45}{\frac{x}{y\ \text{와}\ z\ \text{의 조화평균}}}

혹, 학교 시험에서

이 공식을 써먹을 일이 생기신 경우

댓글 부탁드립니다.

저희 알티수학 학원은

부산 센텀 아이에스타워에 있습니다~

#중2닮음 #내접원 #incentral #contacttriangle #평행선닮음 #조화평균

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