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2×3 격자에 수를 배치하는 경우의 수 문제 (feat. 중학 블랙라벨 2-1, 등비수열의 합, 조 나누기)

글·그림 알티수학 쌤 · · 중2 수학

이 글에서는 학생들이 매번 물어보는

경우의 수 문제 하나를 풀어보겠습니다.~

1. 문제와 해설지

개정된 중학수학 블랙라벨 2-2 에 나오는

문제로 아래와 같습니다.

2×3 격자에 수를 배치하는 경우의 수 문제 (feat. 중학 블랙라벨 2-1, 등비수열의 합, 조 나누기) — 그림 1

교재에 제공된 풀이는 아래와 같습니다.

2×3 격자에 수를 배치하는 경우의 수 문제 (feat. 중학 블랙라벨 2-1, 등비수열의 합, 조 나누기) — 그림 2

아름다운 아이디어+좋은 풀이 이네요.

2. 거듭제곱수의 성질

학생들이 많이 물어보는 이유는

등비수열의 합에 관한 성질 때문입니다.

즉, 모든 자연수 n 에 대해

1+r+r2+r3+⋯+rn−1=rn−1r−11+r+r^2+r^3+\cdots +r^{n-1}=\frac{r^n-1}{r-1}

인데, 따라서, 등비수열은 직전항까지 총합이

다음항 1개 보다 작습니다.

예를들어, r = 2 이면,

1+2+22+23+⋯+2n−1=2n−11+2+2^2+2^3+\cdots +2^{n-1}=2^n-1

인데, 좌변의 2의 거듭제곱들을 다 합쳐도

우변의 다음항 하나보다 작죠.

(이것은 밑수가 커질수록 격차가 더 벌어집니다.)

이런 성질을 미리 좀 이해하고 있으면

이 문제를 이해하는데 좀 더 도움이 되지 않을까

생각합니다.

3. 옥의 티

문제에 중복된 조건이 있는것이 좀 아쉽네요.

문제에서 주어진 조건은 아래 세 가지인데

(1)a1<a2<a3(1)\quad a_1<a_2<a_3
(2)b1<b2(2)\quad b_1<b_2
(3)  각 열의 2행의 수는 1행의 수보다 크다(3)\ \ \text{각 열의 2행의 수는 1행의 수보다 크다}

세번째 조건은 두번째 조건을 포함하므로

두번째 조건은 없애는게 낫겠습니다.

4. 확장성을 고려한 아이디어

제가 몇 년전 이 문제 질문을 처음 받았을때

초견으로 생각했었던 풀이는 교재와는 좀 다른데,

아래에 적어보겠습니다.

이 풀이로는 문제의 행이나 열의 수가 늘어나더라도

같은 아이디어로 확장이 가능합니다.

제 풀이법은

21,  22,  23,  24,  25,  262^1,\ \ 2^2,\ \ 2^3,\ \ 2^4,\ \ 2^5,\ \ 2^6

을 그냥 단순히 세 조로 나누기만 하면 됩니다.

이후에 각 조에서 작은 수를 위에 쓰고

큰 수를 아래에 씁니다.

그리고, 각 조의 합은 서로 다르므로

(∵각 조의 합을 이진수로 써보면 쉽게 알수 있습니다.)

합의 크기 순으로 각 조를 오름차순으로 줄세우면 됩니다.

따라서, 계산은

6C2×4C2×2C2×13!=15_6C_2\times _4C_2\times _2C_2\times \frac{1}{3!}=15

로 해결됩니다.

공통수학에서 '조 나누기'를 배운 학생들은

이 풀이를 더 좋아하더군요.

참고로, 조금 더 설명드리자면

이 문제처럼 2의 거듭제곱수들을 배치하는 문제에서는

각 열을 서로 다른 이진수로 유일하게 대응시킬 수

있기 때문에 각 행과 열의 합이 모두 다릅니다.

그래서 행과 열을 늘려도

동일한 아이디어가 적용이 가능하구요.

만약, 2의 거듭제곱수가 아닌

일반적인 자연수를 배치한다면

각 열이나 행의 합이 모두 다르다는것을

보장할 수 없기 때문에 안됩니다.

5. etc.

이 문제가 실려 있는 블라의 단원이 "단항식" 인데

이 문제가 단항식과 무슨 상관이 있는지 궁금하네요.

이 문제는 문제에서 주어진 중복된 조건을 수정해서,

공통수학 '조 나누기' 파트의 연습문제로

넣으면 깔끔할 것 같습니다.

#등비수열 #조나누기 #경우의수 #블랙라벨 #중2수학

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