팩토리얼 역수의 합은 자연상수 e 인 이유, 수열의 극한 증명 (feat. 이항정리, 샌드위치정리, 맥클로린 급수)
여기서는 e 가 팩토리얼 역수의 무한합으로
표현되는 이유를 증명해보겠습니다.
1. 팩토리얼 역수의 합
자연상수 e 가
인것은 다들 아시죠?
자연상수 e 는 또한 아래와 같은
급수로도 표현이 된답니다.
즉,
아래와 같은 등식이 성립합니다.
이 등식의 증명을 해보겠습니다.
2. 이항정리 계산
먼저 좌변의 n제곱식을 이항정리로 풉니다.
약분을 해서 정리하면, 아래와 같이 써집니다.
분모에 있는 k 개의 n 을 분자의 각 괄호에
하나씩 넣어주면 아래와 같습니다.
요컨데 좌변을 이항정리해서 변형하면
아래와 같이 쓸 수 있습니다.
3. 샌드위치 정리의 상한
상한은 쉽게 눈에 보입니다.
바로 위의 식에서 우변의 각 괄호는
n 에 상관없이 1 이하임을 알 수 있죠.
따라서, 아래와 같은 부등식이 성립합니다.
그러므로, 양변에 n 을 ∞ 로 보내면,
가 됩니다.
4. 샌드위치 정리의 하한
하한은 비교적 쉽지는 않습니다만,
...
앞에서 이항정리로 변형했던 등식을
다시 한번 볼까요.
우변의 Σ 에서 더해지는 각 항이
모두 양수임을 확인할 수 있습니다.
그러므로,
인 적당한 자연수 m 을 데려옵니다.
그러면,
아래와 같은 부등식이 성립해서
3 의 상한과 극한이 같은 하한을 만들어 낼 수
있습니다.
즉, 0부터 n까지 더해야 등식이 되는데
n 이하인 자연수 m 까지 더하니 합이 작아진것 입니다.
이제, 양변에 n 을 ∞ 로 보내면,
아래와 같습니다.
(이 부분이 질문을 많이 하는 부분인데)
우변의 Σ 의 입장에서 n 은 상수일 뿐이죠.
그래서 아래와 같이 lim 을 Σ 안으로
넣어서 계산합니다.
참고로, 앞의 상한 계산부분 3 과 차이점을
잘 체크해야 합니다.
3에서는 Σ 에서 더해지는 항의 갯수가 n 이므로
4 에서처럼 lim 을 Σ 안으로 넣을 수 없죠.
그러므로,
아래와 같은 부등식이 성립합니다.
그런데, 이 부등식은
n 이하의 모든 자연수 m 에 대해 성립하죠.
그래서, n → ∞ 이므로, m → ∞ 일때도
성립합니다. 따라서,
가 됩니다.
5. 샌드위치 정리
그러면 이제 준비가 다 되었네요.
3 에서 증명한 상한에 대한 부등식은
이고,
4 에서 증명한 하한에 대한 부등식은
입니다.
그러므로 샌드위치 정리에 의해
증명이 완성되었습니다.
6. 매클로린 급수로 간단 증명
무한번 미분 가능한 함수 f(x) 의 테일러 급수는
아래와 같습니다.
여기다가 a=0 을 하고
라 하면,
가 됩니다. 이것을
자연상수를 밑으로 하는 지수함수의
매클로린 급수라고 합니다.
여기서 x = 1 을 대입하면,
를 증명할 수 있습니다.
7. 결론
즉, 자연상수 e 는
입니다.