알티수학 쌤 보조선 #12 - 별모양 각 계산 문제를 쉽게 푸는 법 (중1-2 내신 빈출, 중1 나비정리)
오늘은 별모양에서 각을 계산하는 문제를
쉽게 푸는 유용한 보조정리를 하나
알려드리겠습니다.
1. 보조정리
아래 그림과 같이 AD 와 BC 의 교점을 O 라 하면
입니다.
너무 쉽지만, 생각보다 매우 유용합니다.
이름이 있으면 말하기 쉬우니
이 보조정리를
"중1 나비정리"라고 하겠습니다.
쉽지만 혹시나해서, 증명은
삼각형의 외각의 성질을 두 번 쓰면
아래와 같이 증명됩니다.
2. 예제 (1)
아래와 같은 별모양에서 다섯개의 각의 합
∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E 를 구해봅시다.
이 문제는 아래 그림과 같이 CD 를 이으면
파란색 음영부분 나비모양이 보입니다.
여기다 중1 나비정리를 쓰면
∠B + ∠E 를 x+y 로 대신할 수 있습니다.
따라서,
∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E 는
△ADC 의 내각의 합과 같아져서
180°가 답이 됩니다.
2. 예제 (2)
약간 변형을 해볼까요. 아래 그림에서
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 을 구해보겠습니다.
아래와 같이
∠1, ∠2 의 끝부분 점을 이으면
파란색 음영부분 나비모양에서
∠3 + ∠6 을 ∠7 + ∠8 로 대신할 수 있죠.
그러면,
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 의 값은
볼록사각형 하나의 내각의 합과 같으므로
360°가 답이 됩니다.
3. 예제 (3)
한 문제 더 해보겠습니다. 아래 그림에서
∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G 를
구해봅시다.
이제, 암산으로, AB 와 CG 를 이으면
볼록사각형 ABDF 와 삼각형 CEG 의
내각이 된다는것이 쉽게 보일겁니다.
따라서, 이 문제의 답은
360° + 180° = 540° 가 됩니다.
4. 예제 (4)
아래 문제를 봅시다.
c, d 의 끝점을 눈으로 이으면
오각형 내각의 합에서, 50°+45° 를
빼면 되는것을 금방 알 수 있죠.
5. 예제 (5)
이제 아래 문제는 1초만에 풀 수 있습니다.
2초 걸리시는 분은 반성하셔야...
6. 예제 (6)
하나만 더 볼까요.
볼록오각형 한 개와
볼록사각형 한 개인 것을 바로 알 수 있죠.
7. 스포일러
보너스 문제
이건 "중1 나비정리" 는 아니구요,
1~2초 만에 풀립니다.
볼록사각형 세 개에서 2×360° 를
빼면 됩니다.
이 유형은
다음에 따로 알려드리겠습니다.