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알티수학 쌤 비법공개 #4 - 제곱근의 근사값을 암산하는 방법과 n-제곱근으로 일반화

글·그림 알티수학 쌤 · · 알티수학 인벤토리

가끔 제곱근의 근사값이 필요할 때가 있죠.

오늘은 간단한 계산(암산)으로

매우 근접한 값을 찾아주는 공식을

알려드리겠습니다.

오래전에 심심해서 만든 공식인데

꽤 편리합니다.

1. 공식

공식은 아래와 같습니다.

알티수학 쌤 비법공개 #4 - 제곱근의 근사값을 암산하는 방법과 n-제곱근으로 일반화 — 그림 1

라 둡니다. 여기서,

k 는 정수부분, α 는 소수부분입니다.

이 때,

알티수학 쌤 비법공개 #4 - 제곱근의 근사값을 암산하는 방법과 n-제곱근으로 일반화 — 그림 2

입니다. 복잡해 보이지만,

분모는 정수부분의 두 배

분자는 m 과 정수부분 제곱의 거리

입니다.

그냥 외우면 됩니다.

2. 예시

예를 들어, √91 을 해볼까요?

92=81,102=1009^2=81,\quad 10^2=100

이므로, √91 의 정수부분이 9 인것은

쉽게 알 수 있습니다. 즉,

알티수학 쌤 비법공개 #4 - 제곱근의 근사값을 암산하는 방법과 n-제곱근으로 일반화 — 그림 3

이죠.

이제 α 의 좋은 근사값을 구하면 됩니다.

위의 공식대로 하면,

α=91−812⋅9=1018=59\alpha =\frac{91-81}{2\cdot 9}=\frac{10}{18}=\frac{5}{9}

입니다.

59=0.5˙\frac{5}{9}=0.\dot{5}

이므로

알티수학 쌤 비법공개 #4 - 제곱근의 근사값을 암산하는 방법과 n-제곱근으로 일반화 — 그림 4

입니다.

참고로, 실제값은

91=9.539 ⋯\sqrt{91}=9.539\ \cdots

이거든요,

오차가 겨우 0.17 % 정도입니다.

조금만 익숙해지면,

α 값을 분수꼴로 금방 암산가능합니다.

3. 오차 검토

아래에 원리를 설명드리겠지만,

이 공식은

알티수학 쌤 비법공개 #4 - 제곱근의 근사값을 암산하는 방법과 n-제곱근으로 일반화 — 그림 5

m 이 클 수록 더 잘맞습니다.

웬만하면, m 이 두 자리 자연수인

10 이상부터 쓰시기를 강추합니다.

바꿔 말하면 m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 일 때는

오차가 비교적 큰 편이라,

2, 3, 5, 7, 8\sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \sqrt{5},\ \sqrt{7},\ \sqrt{8}

값은 따로 좀 외워두는 것이 좋겠습니다.

알티수학 쌤 비법공개 #4 - 제곱근의 근사값을 암산하는 방법과 n-제곱근으로 일반화 — 그림 6

오른쪽 괄호는 각 단계의 증분입니다.

√2, √3 은 따로 외우고,

√5 ~ √8 은 √4=2 에서 증분이 0.2 라 생각하면

적당히 맞습니다.

두 자리수 이상은 프로그램 돌려보면

아래와 같습니다. 표기된 오차(Error)는 % 입니다.

오차가 꽤 작아서

매우 쓸만하다는것을 알 수 있네요.

========================================

m: 1 ~ 100 (1 단위 증가)

========================================

m = 2, Error = 6.0660%

m = 3, Error = 15.4701%

m = 5, Error = 0.6231%

m = 6, Error = 2.0621%

m = 7, Error = 3.9402%

m = 8, Error = 6.0660%

m = 10, Error = 0.1388%

m = 11, Error = 0.5038%

m = 12, Error = 1.0363%

m = 13, Error = 1.6950%

m = 14, Error = 2.4501%

m = 15, Error = 3.2796%

m = 17, Error = 0.0459%

m = 18, Error = 0.1735%

m = 19, Error = 0.3694%

m = 20, Error = 0.6231%

m = 21, Error = 0.9258%

m = 22, Error = 1.2703%

m = 23, Error = 1.6508%

m = 24, Error = 2.0621%

m = 26, Error = 0.0192%

m = 27, Error = 0.0740%

m = 28, Error = 0.1606%

m = 29, Error = 0.2755%

m = 30, Error = 0.4158%

m = 31, Error = 0.5790%

m = 32, Error = 0.7627%

m = 33, Error = 0.9650%

m = 34, Error = 1.1842%

m = 35, Error = 1.4185%

m = 37, Error = 0.0094%

m = 38, Error = 0.0365%

m = 39, Error = 0.0801%

m = 40, Error = 0.1388%

m = 41, Error = 0.2115%

m = 42, Error = 0.2972%

m = 43, Error = 0.3949%

m = 44, Error = 0.5038%

m = 45, Error = 0.6231%

m = 46, Error = 0.7520%

m = 47, Error = 0.8900%

m = 48, Error = 1.0363%

m = 50, Error = 0.0051%

m = 51, Error = 0.0200%

m = 52, Error = 0.0441%

m = 53, Error = 0.0770%

m = 54, Error = 0.1180%

m = 55, Error = 0.1668%

m = 56, Error = 0.2230%

m = 57, Error = 0.2860%

m = 58, Error = 0.3556%

m = 59, Error = 0.4314%

m = 60, Error = 0.5131%

m = 61, Error = 0.6004%

m = 62, Error = 0.6930%

m = 63, Error = 0.7905%

m = 65, Error = 0.0030%

m = 66, Error = 0.0118%

m = 67, Error = 0.0262%

m = 68, Error = 0.0459%

m = 69, Error = 0.0707%

m = 70, Error = 0.1004%

m = 71, Error = 0.1347%

m = 72, Error = 0.1735%

m = 73, Error = 0.2165%

m = 74, Error = 0.2636%

m = 75, Error = 0.3146%

m = 76, Error = 0.3694%

m = 77, Error = 0.4278%

m = 78, Error = 0.4896%

m = 79, Error = 0.5547%

m = 80, Error = 0.6231%

m = 82, Error = 0.0019%

m = 83, Error = 0.0074%

m = 84, Error = 0.0165%

m = 85, Error = 0.0290%

m = 86, Error = 0.0449%

m = 87, Error = 0.0638%

m = 88, Error = 0.0859%

m = 89, Error = 0.1109%

m = 90, Error = 0.1388%

m = 91, Error = 0.1694%

m = 92, Error = 0.2028%

m = 93, Error = 0.2387%

m = 94, Error = 0.2771%

m = 95, Error = 0.3179%

m = 96, Error = 0.3610%

m = 97, Error = 0.4065%

m = 98, Error = 0.4541%

m = 99, Error = 0.5038%

========================================

m: 101 ~ 1000 (10 단위 증가)

========================================

m = 101, Error = 0.0012%

m = 111, Error = 0.1362%

m = 121, Error = 0.0000%

m = 131, Error = 0.0788%

m = 141, Error = 0.2926%

m = 151, Error = 0.0282%

m = 161, Error = 0.1557%

m = 171, Error = 0.0017%

m = 181, Error = 0.0588%

m = 191, Error = 0.1873%

m = 201, Error = 0.0079%

m = 211, Error = 0.0680%

m = 221, Error = 0.1802%

m = 231, Error = 0.0087%

m = 241, Error = 0.0590%

m = 251, Error = 0.1495%

m = 261, Error = 0.0047%

m = 271, Error = 0.0405%

m = 281, Error = 0.1085%

m = 291, Error = 0.0006%

m = 301, Error = 0.0207%

m = 311, Error = 0.0673%

m = 321, Error = 0.1379%

m = 331, Error = 0.0057%

m = 341, Error = 0.0327%

m = 351, Error = 0.0801%

m = 361, Error = 0.0000%

m = 371, Error = 0.0093%

m = 381, Error = 0.0363%

m = 391, Error = 0.0797%

m = 401, Error = 0.0001%

m = 411, Error = 0.0092%

m = 421, Error = 0.0327%

m = 431, Error = 0.0697%

m = 441, Error = 0.0000%

m = 451, Error = 0.0063%

m = 461, Error = 0.0246%

m = 471, Error = 0.0541%

m = 481, Error = 0.0942%

m = 491, Error = 0.0026%

m = 501, Error = 0.0149%

m = 511, Error = 0.0368%

m = 521, Error = 0.0678%

m = 531, Error = 0.0002%

m = 541, Error = 0.0063%

m = 551, Error = 0.0208%

m = 561, Error = 0.0431%

m = 571, Error = 0.0730%

m = 581, Error = 0.0009%

m = 591, Error = 0.0083%

m = 601, Error = 0.0226%

m = 611, Error = 0.0435%

m = 621, Error = 0.0707%

m = 631, Error = 0.0011%

m = 641, Error = 0.0080%

m = 651, Error = 0.0208%

m = 661, Error = 0.0392%

m = 671, Error = 0.0631%

m = 681, Error = 0.0007%

m = 691, Error = 0.0060%

m = 701, Error = 0.0165%

m = 711, Error = 0.0319%

m = 721, Error = 0.0519%

m = 731, Error = 0.0001%

m = 741, Error = 0.0033%

m = 751, Error = 0.0111%

m = 761, Error = 0.0231%

m = 771, Error = 0.0392%

m = 781, Error = 0.0593%

m = 791, Error = 0.0010%

m = 801, Error = 0.0058%

m = 811, Error = 0.0143%

m = 821, Error = 0.0266%

m = 831, Error = 0.0424%

m = 841, Error = 0.0000%

m = 851, Error = 0.0017%

m = 861, Error = 0.0069%

m = 871, Error = 0.0154%

m = 881, Error = 0.0270%

m = 891, Error = 0.0417%

m = 901, Error = 0.0000%

m = 911, Error = 0.0018%

m = 921, Error = 0.0067%

m = 931, Error = 0.0143%

m = 941, Error = 0.0248%

m = 951, Error = 0.0380%

m = 961, Error = 0.0000%

m = 971, Error = 0.0013%

m = 981, Error = 0.0053%

m = 991, Error = 0.0118%

제곱수는 오차가 0 이므로 제외했습니다.

m 이 커질수록 오차는 작아지고,

m 이 제곱수 근처일 때 오차가 일시적으로

커집니다.

4. 공식 유도 과정

혹시나 궁금하신 분들을 위해

공식 유도과정을 알려드리겠습니다.

예를 들어,

알티수학 쌤 비법공개 #4 - 제곱근의 근사값을 암산하는 방법과 n-제곱근으로 일반화 — 그림 7

에서, 양변을 제곱하면,

알티수학 쌤 비법공개 #4 - 제곱근의 근사값을 암산하는 방법과 n-제곱근으로 일반화 — 그림 8

인데,

α 는 0 과 1 사이의 소수 부분이므로,

α² 은 α 보다 훨씬 작은 값이 되서,

그냥 버립니다.

그러면,

알티수학 쌤 비법공개 #4 - 제곱근의 근사값을 암산하는 방법과 n-제곱근으로 일반화 — 그림 9

이고, 이것을 α 에 관해 풀면

알티수학 쌤 비법공개 #4 - 제곱근의 근사값을 암산하는 방법과 n-제곱근으로 일반화 — 그림 10

가 됩니다.

즉, 미지수로 다시 유도해보겠습니다.

알티수학 쌤 비법공개 #4 - 제곱근의 근사값을 암산하는 방법과 n-제곱근으로 일반화 — 그림 11

에서 양변을 제곱하면,

알티수학 쌤 비법공개 #4 - 제곱근의 근사값을 암산하는 방법과 n-제곱근으로 일반화 — 그림 12

이고, 여기서 α² 을 버리면,

알티수학 쌤 비법공개 #4 - 제곱근의 근사값을 암산하는 방법과 n-제곱근으로 일반화 — 그림 13

이고,

알티수학 쌤 비법공개 #4 - 제곱근의 근사값을 암산하는 방법과 n-제곱근으로 일반화 — 그림 14

가 됩니다.

즉,

알티수학 쌤 비법공개 #4 - 제곱근의 근사값을 암산하는 방법과 n-제곱근으로 일반화 — 그림 15

입니다.

5. 참고

이렇게 α² 을 버리면, '선형근사' 가 됩니다.

즉, 이차함수 대신 접선을 사용해서

값을 구한것이 됩니다.

예를 들어,

알티수학 쌤 비법공개 #4 - 제곱근의 근사값을 암산하는 방법과 n-제곱근으로 일반화 — 그림 16

을 다시 생각해보겠습니다.

양변을 제곱하면,

알티수학 쌤 비법공개 #4 - 제곱근의 근사값을 암산하는 방법과 n-제곱근으로 일반화 — 그림 17

인데,

y=x2y=x^2

의 그래프가 (9, 81) 을 지나는것을 알고 있고,

y=91 일때 해당하는 x 값을 구하는 문제인데,

α² 을 떼서 버리면

(9, 81) 에서의 접선에서 y=91 에 해당하는

x 의 값을 구하는 문제가 됩니다.

9+α = x 이므로, 위의 식에서

α 대신 x-9 를 대입하면,

91=x2=92+2⋅9⋅(x−9)+(x−9)2⋯ (1)91=x^2=9^2+2\cdot 9\cdot (x-9)+(x-9)^2\quad \cdots \ (1)

이고, 여기서

α2=(x−9)2\alpha ^2=(x-9)^2

을 떼서 버리면

91=x2≈92+2⋅9⋅(x−9)91=x^2\approx 9^2+2\cdot 9\cdot (x-9)

가 되죠. 이것은 (9, 81) 에서 접선의 방정식과

동일합니다.

사실 앞의 (1) 식은 y=x² 을 x=9 근방에서

테일러전개한 것이고,

1차 테일러 다항식은 접선이니까요.

그러므로, y=x² 의 볼록성을 생각할 때,

뒤로 갈수록 정확해진다는것도

알 수 있습니다.

6. 일반화

이와 같이 선형근사를 쓰면

n제곱근 공식도 가능합니다.

(암산은 힘들지만 손계산은 가능합니다.)

예를 들어,

∛100 의 근사값을 생각해볼까요.

알티수학 쌤 비법공개 #4 - 제곱근의 근사값을 암산하는 방법과 n-제곱근으로 일반화 — 그림 18

이므로,

1003=4+α\sqrt[3]{100}=4+\alpha

이고 양변 세제곱하면,

100=(4+α)3=43+3⋅42α+3⋅4α2+α3100=(4+\alpha )^3=4^3+3\cdot 4^2\alpha +3\cdot 4\alpha ^2+\alpha ^3

이고,

α², α³ 항을 떼서 버리면,

α=100−433⋅42=34\alpha =\frac{100-4^3}{3\cdot 4^2}=\frac{3}{4}

이므로,

1003=4+α≈4.75\sqrt[3]{100}=4+\alpha \approx 4.75

가 됩니다.

실제값은 4.641... 인데

이것은 2.3% 정도 오차입니다.

공식은 유도하면 아래와 같습니다.

m=k3+αm=k^3+\alpha

라 할 때,

m3=k+α3k2\sqrt[3]{m}=k+\frac{\alpha }{3k^2}

입니다.

같은 방법으로 n제곱근으로 일반화 하면,

m=kn+αm=k^n+\alpha

일 때,

mn=k+αn⋅kn−1\sqrt[n]{m}=k+\frac{\alpha }{n\cdot k^{n-1}}

이 된답니다.

7. 참고

계산기가 없던 시절에는 '개평법' 이라고

나눗셈처럼 제곱근을 구하는 알고리즘이 있었는데

계산이 더럽습니다.

알고리즘으로서의 가치는 있지만

어차피 적당한 근사값을 구하는 방법이라서,

근사값을 원하는 정밀도 만큼 구하는 문제라면

테일러 전개나 뉴턴-랩슨법이나 연분수 같은

더 알기쉬운 방법이 낫답니다.

#제곱근 #제곱근근사값 #근사값 #테일러전개 #선형근사 #접선 #n제곱근

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