필요조건은 수학 고수들의 비법, 9월 미적분 29번 2026학년도 (2025시행)
최근에 치뤄졌던 9월 모의고사 미적분 29번
무한급수 문제를 살펴보겠습니다.
문제는 아래와 같습니다.
1. 필요조건
시험에서 어려운 수학문제를 만나서
뭘 해야 할지 모르겠으면
눈을 크게 뜨고,
좋은 필요조건을 찾아야 합니다.
필요조건이란
그 조건을 만족시키지 않으면
더 이상 진행할 수 없는 조건을 말합니다.
아래에 몇 가지 예를 들어 볼테니
개념을 잡아보시죠.
게임에서 끝판왕을 만나기 위한 필요조건은,
그 앞의 중간 보스들을 모두 물리치는 것
중간 보스를 물리치지 못하면
더 이상 진행이 안되죠.
내가 다이어트에 성공하기 위한 필요조건은,
배달앱을 삭제하는 것
배달앱을 안지우면
다이어트는 생각할 여지가 없다는 뜻이구요,
아래 예시도 비슷한 맥락입니다.
내가 로또 1등에 당첨되기 위한 필요조건은,
일단 로또를 사는 것
내가 성적이 오르기 위한 필요조건은,
일단 유튜브를 끄는 것
느낌이 좀 오시나요?
대체로 수학에서는
더 좋은 필요조건을
더 많이 찾아낼수록
문제 해결에 성공할 가능성이 커집니다.
그리고,
많이 공부하고 꾸준히 연습하면
점점 더 좋은 것을 찾아낼 수 있게 됩니다.
2. 필요조건 찾아서 풀기
이 문제에서 쓸만한 필요조건을 찾고
나에게 유리한 순서로 재배치하면
아래와 같습니다.
(1)
정수인 항은 연속으로 존재해야 한다.
(2)
세 정수의 가운데 항은 6이어야 한다.
(3)
공비는 -1 초과 1 미만이고 0 은 아니다.
(4)
공비가 양수일 수 없다.
(5)
유리수인 공비의 분자는 1이 아니다.
(6)
공비의 분모는 2, 3, 6 만 가능하다.
(7)
공비의 분자는 2, 3 만 가능하다.
이 정도 알아내고나면,
공비 r 은
만 가능합니다. 그리고나서,
6이라는 항이 존재하고 있음을 알고 있으니
이 6을 전후로 전체 수열을 생성시켜봅니다.
여기서, 문제의 조건을 만족하도록
첫 항을 잡아주면
아래와 같이 수열이 결정되어지죠.
그러므로
가 됩니다. 즉,
p = 10, q = 81 이므로
답은 91 입니다.
3. 각 필요조건의 근거
그러면 이제, 앞에서 사용된 각 필요조건들을
상세히 살펴보겠습니다.
(1)
정수인 항은 연속으로 존재해야 한다.
어떤 정수인 항을 M 이라 하고
그 다음 항이 정수가 아니라고 가정합니다.
공비를 s/t (기약분수) 라 하면, M 의 바로 다음 항은
인데, 여기서 t 가 M 의 약수가 아닌거죠.
이 때, 뒤의 임의의 항은 아래와 같이 써집니다.
그런데 이것이 정수라면
(귀류법이랍니다.)
t 는 M의 약수라야 됩니다.
모순이네요.
즉, M 이후로 정수가 아닌 유리수가 한 번 나오면
그 뒤로 다시는 정수가 나올 수 없습니다.
따라서, 세 정수는 연속으로 나와야 합니다.
(2)
세 정수의 가운데 항은 6이어야 한다.
연속한 세 정수가 등비수열이고
세 정수의 곱이
이니 쉽게 알 수 있죠.
(3)
공비는 -1 초과 1 미만이고 0 은 아니다.
무한급수가 수렴하려면 당연히...
그리고 정수는 3개 뿐이라서요.
(4)
공비가 양수일 수 없다.
공비가 양수면
6 의 앞의 항들은 모두 6 보다 크니까
문제에서 주어진 이 조건을 못 맞춥니다.
따라서 공비는 음수입니다.
(5)
유리수인 공비의 분자는 1 이 아니다.
세 정수가
인데,
공비 r 이 음수라서 6/r 은 첫 항이 아닙니다.
(문제에서 첫 항은 양수라 했죠.)
따라서, 6/r 의 왼쪽에 항이 더 있는데
공비 r 의 분자가 1 이면
그 왼쪽 항이 정수가 되서
정수가 4개 이상이 되거든요.
(6)
공비의 분모는 2, 3, 6 만 가능하다.
이게 안되면
6 에서 6r 이 정수가 안되니까요.
(7)
공비의 분자는 2, 3 만 가능하다.
이게 안되면
6 에서 6/r 이 정수가 안되니까요.
여기까지입니다.
꽤 재미있는 문제였습니다.