단순 계산으로 3분컷 풀이, 9월 수학 21번 2026학년도 (2025시행)
지난주에 치뤄진 9월 모의고사 공통 21번
삼차함수 문제를 풀어보겠습니다.
문제는 아래와 같습니다.
1. 의식의 흐름
문제를 읽는동안
의식이 흘러가는 과정은 아래와 같습니다.
(1)
주어진 부등식의 가운데 식이
평균변화율 처럼 생겼다.
아마도, 기하적 해석을 해야할지도 모르겠다.
(2)
우변의 x 네제곱은 알겠는데
좌변에 f'(x) 에 관한 식은 기하적 의미를 주기가
매우 어렵다.
(3)
답으로 f'(10) 을 요구하고 있는데,
x=10 에서의 미분계수라니... 뜬금없다.
결국 이 계산을 하기 위해서는
f(x) 를 결정하는 문제인듯하다.
따라서, f(x) 를 아래와 같이 놓고
노가다를 뛰기로 결정한다.
2. 단순계산
f'(10) 을 구해야 하니 a, b 만 알아내면 됩니다.
그래서 일단 f(x) 를 단순히
주어진 부등식에 넣어서 정리하면 아래와 같습니다.
문제에서 x≠0 이라했으니 가운데식은 약분하고,
내림차순 정리하면 아래처럼 되죠.
이 부등식이 0 이 아닌 모든 x 에 대해 성립하게하는
a, b 를 구해야 되는데... 복잡해 보입니다.
그런데, 이 장면을 자세히 관찰해보면
매우 운좋게도 2ax+b 가
왼쪽과 가운데 식에서 계수가 맞춰져 있음을
알 수 있습니다.
출제자가 은혜를 베풀어 놓으셨네요.
그래서 2ax+b 에 대해 부등식을 다시
정리해서 써 보면
아래와 같이 예쁘게 써집니다.
즉, a, b 가 가운데로 모아지고,
좌변과 우변이 고정되어집니다.
우변에 +4 해주고 -4 해주고 싶네요.
즉,
에서,
로 써집니다.
그러면,
좌변의 최대가 -4이고,
우변의 최소가 -4 입니다.
느낌이 오는것 같네요.
좌변은 꼭짓점이 (0, -4) 이고 위로 볼록한 이차함수이고,
우변은 우함수, 또 극소가 (±√2, -4)인 사차함수이므로,
가운데 있는 일차함수는
a=0, b=-4 일 수 밖에 없습니다.
이렇게 a, b 가 결정되었습니다.
그러므로,
이고,
으로 답이 나옵니다.