삼도극 기출 문제를 테일러 급수로 풀어보기, 사관학교 수학 미적분 28번 2026학년도 (2025시행)
지난달에 치뤄진 사관학교 수학 28번
삼도극 문제를 풀어보겠습니다.
한동안 삼도극이 안나왔었는데 다시 나왔네요.
계산이 좀 더 복잡해졌습니다...
문제는 아래와 같습니다.
2026 학년도 사관학교 수학 미적분 기출 28번
1. 넓이 계산
아래 그림과 같이 직각을 찾아서 체크하고
필요한 길이들을 표시합니다.
AB = 3 이므로,
직각삼각형 △ABC 에서 AC = 3cosθ,
직각삼각형 △ABD 에서 AD = 3cos2θ,
직각삼각형 △ABE 에서 AE = 3cos3θ 이고,
직각삼각형 △AEQ 에서
직각삼각형 △AEP 에서
이므로,
가 됩니다.
2. 넓이 계산 (2)
또는 아래 그림에서 CD=BC=3sinθ 이고,
∠CDB=∠CAB=θ (원주각) 이므로,
∠ADC =90°+θ 이죠.
직각삼각형 △ABD 에서 AD = 3cos2θ 이므로
입니다.
△AEQ 의 외각의 성질에 의해 ∠AQP=90°+θ 라서
∠AQP=∠ADC (동위각) 에서 BE//CD 이죠.
AE 의 연장선과 CD 의 연장선의 교점을 R 이라 하면,
AR = 3cosθcos2θ, AE = 3cos3θ 이고,
AD:AQ = AR:AE 로 해서
△APQ 의 넓이를 닮음을 써서
△ACD 넓이로 부터 구하면 됩니다.
이 과정은 복잡해 보이지만 의뢰로 간단하게
앞의 1 과 동일한 결과가 나옵니다.
3. 극한 계산 (1)
이제, 구해놓은 S(θ) 를 써서 극한을 계산해 볼께요.
에서 분자의 코사인 제곱을 전부
사인제곱으로 바꿔서 풉니다.
좀 복잡하죠.
이제, 이것을 극한때리면 됩니다.
답은 18 입니다.
4. 극한 계산 (2)
sin 과 cos 의 테일러 급수는 아래와 같습니다.
삼도극에서 sin 은 그냥 처리하면 되므로,
cos 의 테일러 급수만 좀 외워두면 됩니다.
현재까지 기출들은 제곱항 까지면 충분합니다.
즉, 이것만 좀 외워주세요~
그러면, 여기서부터 다시 계산해 볼께요.
이므로,
가 되죠. 그러므로,
이렇게 진행하면 됩니다.
수식으로 쓰면 길어 보이지만, 좀 숙달되면
계산이 생각보다 간단하게 처리됩니다.
5. 극한 계산 (3)
참고로, 이 문제의 극한 계산은 아래와 같은
발견적 방법이 있습니다.
실전에서 당황하면 안보일 수 있으니
테일러 급수는 조금 익혀두기를 추천합니다.
분자를 합차로 인수분해 합니다.
여기서, cos3θ = cos(2θ + θ) 를 풀면
cosθcos2θ 가 상쇄가 됩니다.
이므로,
에서
만 남게 되어서 쉽게 처리가 됩니다.
출제자의 의도는 아마도 이쪽이었던것 같네요.
모의고사, 수능, 학교기출의 풀이해설은
아래 사이트에 모아놨습니다.
이 글에서 다룬 문제의 저작권은 출제 기관·출제자에게 있으며, 학습과 비평을 목적으로 낱문항만 인용했습니다. 해설과 그림은 필자가 직접 작성한 것입니다. 삭제를 원하시면 rtshhw@naver.com 로 연락 주십시오.