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알티수학 쌤 비법공개 #3 - 각의 이등분선 방정식을 암산으로 구하는 방법 (feat. 법선벡터, 표준화, 두 직선의 교점을 지나는 직선)

글·그림 알티수학 쌤 · · 알티수학 인벤토리

이 글에서는 제가 수업하는 내용중에

각의 이등분선의 방정식을 암산으로 구하는 방법을

알려드립니다.

십수년동안 저와 저의 학생들은 잘 써먹었는데

아마 재미있으실겁니다.

이제 이 계산은 이렇게들 하세요~

1. 두 직선의 교점을 지나는 직선

다들 아시다시피 한 점에서 만나는 두 직선

ax+by+c=0,px+qy+r=0ax+by+c=0,\quad px+qy+r=0

의 교점을 지나는 (모든) 직선은

m⋅(ax+by+c)+n⋅(px+qy+r)=0\textcolor{#ff0010}{m\cdot (ax+by+c)+n\cdot (px+qy+r)=0}

입니다. 이 때, m, n 은 임의의 실수입니다.

2. 각의 이등분선의 방정식

먼저 예제를 살펴보겠습니다.

예제 ①

알티수학 쌤 비법공개 #3 - 각의 이등분선 방정식을 암산으로 구하는 방법 (feat. 법선벡터, 표준화, 두 직선의 교점을 지나는 직선) — 그림 1

전통적인 풀이는 아래와 같습니다.

알티수학 쌤 비법공개 #3 - 각의 이등분선 방정식을 암산으로 구하는 방법 (feat. 법선벡터, 표준화, 두 직선의 교점을 지나는 직선) — 그림 2

두 직선으로부터 거리가 같은 점들의 자취가

바로 각의 이등분선입니다.

그래서 거리공식으로 구하는거죠.

하나 더 볼까요?

예제 ②

알티수학 쌤 비법공개 #3 - 각의 이등분선 방정식을 암산으로 구하는 방법 (feat. 법선벡터, 표준화, 두 직선의 교점을 지나는 직선) — 그림 3

풀이

알티수학 쌤 비법공개 #3 - 각의 이등분선 방정식을 암산으로 구하는 방법 (feat. 법선벡터, 표준화, 두 직선의 교점을 지나는 직선) — 그림 4

앞의 예제와 같은 방식으로 거리공식을 써서

두 직선에서 같은 거리에 있는

점들의 자취를 구하고 있습니다.

그런데, 자세히 한번 보시죠.

두 문제 모두 두 직선을 더하거나 빼고 있습니다

참고로, 두 직선을 더하거나 빼면 1 에 의해서

두 직선의 교점을 지나는 새로운 직선이 됩니다.

이 사실을 잊지 마시고요.

3. 암산법

아래와 같은 두 직선의 각의 이등분선을

암산하는 방법을 알려드리겠습니다.

ax+by+c=0,px+qy+r=0ax+by+c=0,\quad px+qy+r=0

① 만약,

a2+b2=p2+q2a^2+b^2=p^2+q^2

이라면, 두 직선을 단순히 더해주고, 빼주면

각의 이등분선의 방정식이 됩니다.

위의 두 예제 처럼요..

참고로, 대부분의 문제가

a2+b2=p2+q2a^2+b^2=p^2+q^2

이 조건을 만족시키는 상태로 출제되므로,

대부분은 그냥 더하거나 빼면 됩니다.

참고로,

내각의 이등분선인지

외각의 이등분선인지는

기울기를 보고 적절히 판정하면 됩니다.

② 만약

a2+b2≠p2+q2a^2+b^2\textcolor{#ff0010}{\ne }p^2+q^2

일 때는,

같아지도록 적당히 배율 조정해주고

더하거나 빼면 됩니다.

아래 유형서 풀이를 봐보시죠.

알티수학 쌤 비법공개 #3 - 각의 이등분선 방정식을 암산으로 구하는 방법 (feat. 법선벡터, 표준화, 두 직선의 교점을 지나는 직선) — 그림 5

거리공식을 쓴 것이지만 자세히 보면

좌변과 우변의 분모에 나눈 것들은

a2+b2=p2+q2a^2+b^2=p^2+q^2

로 맞춰주는 역할을 합니다.

참고로, 양변의 분모에 나눈 루트식을

norm (노름?) 이라고 합니다.

그리고, norm 으로 나눠서 1이 되도록 맞춰주는 과정을

normalization (표준화) 라고 합니다.

4. 예제

두 직선의 norm 이 맞춰져 있는 경우는

위에서 본 두 예제 처럼

단순히 더하거나 빼주면 됩니다.

두 직선의 norm 이 맞춰져 있지 않은 경우의

예제를 한 번 보겠습니다.

예제 ③

알티수학 쌤 비법공개 #3 - 각의 이등분선 방정식을 암산으로 구하는 방법 (feat. 법선벡터, 표준화, 두 직선의 교점을 지나는 직선) — 그림 6

암산법

두 직선의 norm 이 맞춰져 있지 않은데,

두 번째 직선의 양변을 2 로 나누면 맞춰지죠.

그래서, 두 번째 직선의 양변을 2로 나눈 뒤

첫번째 직선에다가 더해주고 빼주면 됩니다.

따라서, 답은

3x−3y+52=0,x+y−12=03x-3y+\frac{5}{2}=0,\quad x+y-\frac{1}{2}=0

로, 암산 가능합니다.

답지풀이 비교

알티수학 쌤 비법공개 #3 - 각의 이등분선 방정식을 암산으로 구하는 방법 (feat. 법선벡터, 표준화, 두 직선의 교점을 지나는 직선) — 그림 7

예제 ④

y=3x 와 x 축의 각의 이등분선을 구해볼까요?

암산법

표준형으로 고치면 각각 3x-y=0, y=0 이죠.

norm 이 맞지 않으니, 두번째 직선의 양변에

√10 을 곱해주면 맞춰집니다. 그러면

3x−y=0,10y=03x-y=0,\quad \sqrt{10}y=0

을 서로 더해주고 빼주면 됩니다.

5. 암산법의 근거

직선의 방정식의 표준형에서 x, y 의 계수는

법선벡터입니다.

백터의 합과 차는 평행사변형 법칙을 따르는데

두 법선벡터의 길이를 맞춰주고,

더해주고, 빼주면

평행사변형이 마름모가 되므로,

각의 이등분선을 향하는 법선벡터가 나오게 되죠.

거기다가, 앞의 1 이 성립하므로

계산이 더 간편해 집니다.

아래는 관련 교과 내용이니

필요하신분은 참고하세요.

알티수학 쌤 비법공개 #3 - 각의 이등분선 방정식을 암산으로 구하는 방법 (feat. 법선벡터, 표준화, 두 직선의 교점을 지나는 직선) — 그림 8

그러면 이제,

아래의 각의 이등분선을 구하는 거리 관계식이

다른 의미로 보이실 겁니다.

알티수학 쌤 비법공개 #3 - 각의 이등분선 방정식을 암산으로 구하는 방법 (feat. 법선벡터, 표준화, 두 직선의 교점을 지나는 직선) — 그림 9

두 직선의 법선 벡터를 각각 표준화해주고

더해주고 빼주는것으로 보이시나요?

증명이 필요없는 바쁜 수험생들은

그냥 단순히 암산법만 기억하시면 됩니다.

① (대부분의 경우) 계수가 표준화 되어 있으므로

단순히 더해주고 빼준다.

② 계수가 표준화 되어 있지 않으면

적당히 norm 을 맞춰주고 더해주고 빼준다.

각의 이등분선에 대해 더 궁금하신점이 있으시면

아래 글들도 참고해주세요~

알티수학 쌤 비법공개 #3 - 각의 이등분선 방정식을 암산으로 구하는 방법 (feat. 법선벡터, 표준화, 두 직선의 교점을 지나는 직선) — 그림 10

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