산술기하 부등식의 n항 일반화의 코시 귀납법 증명 (feat. 과일쥬스, AM-GM, 역수학적귀납법)
이 글에서는 산술기하 부등식
(AM-GM Inequality)을
n항으로 일반화하는 수학적귀납법 증명을
알기 쉽게 알려드립니다.
1. 산술-기하 평균 부등식
양수의 산술평균(arithmetic means)은
기하평균(geometric means)보다 크거나 같습니다.
이 부등식을
"산술평균 기하평균에 관한 절대부등식"
또는 줄여서,
"산술기하", "산기"
로 이야기 합니다. 영어로는 보통
"AM-GM Inequality" 입니다.
여기서 주의할 사항은 아래 두 가지 입니다.
2. 산기의 증명
산기의 증명은 현재까지 여러가지가 많습니다.
그중에 최초의 증명은
코시(Augustin-Louis Cauchy)가 쓴
해석학 강의 Cours d'analyse [1, p. 306] 라는
책에 나온다 하네요.
여기서는 코시의 이 증명을
살펴보겠습니다.
수학적귀납법을 두 번 쓰는 증명입니다.
3. 2항 산기
수학적 귀납법의 시작단계인
2항 산기는 아래와 같이 간단하게 증명됩니다.
는 성립하고,
a, b 는 양수이어야 하고,
등호는 a=b 일 때 성립합니다.
이것을 전개하면
가 되죠.
4. 항 수 두배 늘리기
2항 산기로 부터 항의 개수를 두 배
늘리는 것은 간단합니다.
예를 들면,
로 해서 2항을 4항으로 늘릴 수 있습니다.
양수조건과 등호조건이 모두 연계됨을
잘 확인해 두어야 합니다.
일반적인 수학적귀납법으로 써보면,
라 두면,
가 되죠.
귀납가정에 의해
가 되고 또, 2항 산기를 써서
로 쓸 수 있으므로, 우변에 대입하면
이므로, 전체 다시 써보면,
가 됩니다.
즉, 이제, 항 수가 2, 4, 8, 16, ... 과 같이
2의 거듭제곱꼴인 경우는
모두 증명되었습니다.
5. 과일쥬스 이야기
과일쥬스를 만드는 기계를 한번 생각해 보겠습니다.
이 기계는 과일을 담는 통이 4개이고,
네 가지 과일을 각각의 통에 담아서
버튼을 누르면 혼합쥬스를 만들어 줍니다.
단, 네 개의 통이 다 채워져야 작동이 됩니다.
어느날, 한 종류과일이 품절되어서
세 종류의 과일밖에 없을 때,
이 기계를 작동시키려면 어떻게하면 될까요?
아쉬운대로,
네 번째 통에 세 종류 과일을
적절히 섞어서 채우면 됩니다.
이제, 코시의 증명으로 되돌아가 봅시다.
6. 역방향 수학적귀납법
앞의 4 에서 산술기하 부등식의 항 n 이
n=2, 4, 8, 16, 32, ...
일 때는 성립함을 이미 보였습니다.
즉, 중간중간에 단계를 어느 정도 건너띄기는 하지만,
무한히 전진은 가능한 상태입니다.
이제,
중간에 빠트리는 n 들에 대해서는
어떻게 증명하면 될지 궁금하시죠?
코시는 "한 칸 후진" 하는 방법을 제시함으써
나머지 n 들에 대한 증명을 완성했습니다.
예를 들어, 항이 14개인 산기를 증명하고 싶으면
n=16 으로부터 한 칸 후진해서 n=15 를 증명하고,
n=15 로부터 한 칸 더 후진해서 n=14 를 증명할 수
있게 된것입니다.
즉, 명제 P(n) 이 성립함을 가정할 때,
P(n-1) 이 되는것을 보여주면
빠짐없이 모든 n 을 증명하는것이 됩니다.
아래와 같은 n 항 산기가 성립하므로, (귀납가정)
각 a_i 에 임의의 양수를 집어넣는다 하더라도
여전히 성립합니다.
그래서, 마지막 a_n 자리에
이렇게 대입해도 됩니다.
5 에서 이야기한 과일쥬스처럼
한 종류 과일이 품절된 상태에서
나머지 과일을 적절히 섞어서 대신하는 느낌입니다.
그러면,
로 쓸 수 있고,
좌변은
이므로,
이 됩니다.
고쳐 쓰면, 부등식은 아래와 같이 되구요.
양변을 n제곱하면,
여기서, 양수 a_n 으로 양변을 나누면
이 됩니다.
마지막으로 양변을 n-1 승근 취해주면
가 되고 증명이 완료됩니다.
즉, 이것을 보기좋게 정리하면,
입니다.
등호성립조건은
이므로, 여전히 성립하구요.
이 증명은 n 항 산기의 최초 증명인데다가
아이디어가 엘레강트해서
대입논술, 구술에서 종종 출제되어 왔습니다.
그럼 이만,,,
늘 즐거운 수학공부 되십시오~