알티수학 쌤 비법공개 #2 - 방정식과 부등식 푸는 법, 미지수를 늘려서 이득을 얻는 문제해결전략, 전술적 후퇴와 전략적 승리

글·그림 알티수학 쌤 · 2025-07-26 · 알티수학 인벤토리

이 글에서는 수학문제에서 미지수의 개수를

도리어 늘려서 푸는 문제해결전략에 관해

중,고교 수준의 예시로 살펴보겠습니다.

1. 미지수와 조건식

대부분의 문제 푸는 과정은 조건식을 잘 써서

미지수를 하나씩 없애가는 절차로 진행됩니다.

예를들어,

아래와 같은 연립방정식에서

조건식이 두 개이고,

미지수도 두 개입니다.

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첫번째 조건식을 '사용'해서

y 자리에 5-x 를 대입해서

두 번째식에 대입하면

미지수 y 가 소거되고 x=3 이 구해집니다.

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이어서, y=2 가 되어 문제가 해결되죠.

2. 조건식 1개는 미지수 1개

조건식 1개를 사용해서 미지수 1개를

처리할 수 있었으니,

조건식1개는 미지수1개와 같다.

라고 볼 수 있죠.

3. 역발상

그러면, 내가 만약,

일부러 미지수 1개를 늘린다면 !?

내맘대로

조건식을 하나 추가할

권리가 생깁니다.

즉, 예를 들어,

앞의 방정식에서 z 라는 미지수를

새로 추가하는 대신에

아래와 같은 조건을 추가하면 됩니다.

z=f(x,\ y)

여기서, f 는 내맘대로 정해도 되구요.

z = x + y

또는,

x² - y + 3z = 7

이런식으로 아무거나 더 써서

3원 연립방정식으로 만들어도 됩니다.

4. 손해와 이득

만약, 미지수가 늘어나는 손해보다

내맘대로 추가하는

조건식의 이득이 더 크다면?

그러면 미지수를 더 써야죠.

미지수 갯수가 늘어나는

거부감과 두려움 같은 선입견은

내다버려주세요.

좀 더 어려운 문제를 다룰때

미지수를 더 추가해야 하는 경우가 있습니다.

아래에서는 중,고 수준에서 보이는

관련 유형들을 살펴보겠습니다.

5. 예시(1)

아래와 같이 두 개의 등호로 연결된

방정식이 종종 나오는데

f(x,\ y)=g(x,\ y)=h(x,\ y)

이런 경우, 아래와 같이

연립방정식으로 풀면

\begin{cases}f(x,\ y)=g(x,\ y)\\g(x,\ y)=h(x,\ y)\end{cases}

특히, 대칭성이 깨지는 경우가 많습니다.

이런 경우, 미지수 t 를 하나 더 갖고와서

아래와 같이 처리하면 더 좋을때가 많죠.

\begin{cases}f(x,\ y)=t\\g(x,\ y)=t\\h(x,\ y)=t\end{cases}

예를 들면,

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에서, 아래와 같이

새 미지수 t 를 하나 더 가져오고,

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첫 식에서

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세번째 식에서

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이니 연결하면,

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이고, 두번째 식을 대입하면

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에서 t = 4 가 구해집니다.

이제, (x, y) 를 다시 구하면,

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로 풀 수 있죠.

6. 예시(2)

아래 x, y 의 연립방정식을 풀어볼까요?

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두 번째 식에서 y = 6 - x 로 해서

첫식에 대입하는것 보다는

새 미지수 t 를 하나 더 가져오고,

그러면 t 의 조건식을 내맘대로

하나 설정할 권리가 생기죠.

나에게 가장 유리할 조건식을 하나 만듭니다.

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따단~ 이것을 쓰면 안성맞춤이죠.

왜냐하면, 첫번째식 를

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통분하면,

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인데, 좌변의 분자는 6 이고, 분모는 t 이니

t = 12 가 빠르게 나옵니다.

이제, 합이 x+y=6, 곱이 xy=12 이니

k^2-6k+12=0

에서, x, y 를 구할 수 있습니다.

(답이 실근으로는 안나오네요.)

7. 예시(3)

중복조합 문제 예제도 보겠습니다.

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이 문제에서 a + b + c = 0, 1, 2, 3, 4, 5 의

모든 경우를 따로 푸는것은 불편합니다.

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다 더하면 56 입니다.

미지수 d 를 하나 더 사용하는 대신

아래와 같이 부등식을 등식으로 바꾸는

이득을 취하는 방법이 있습니다.

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그러면 계산은 아래와 같이 간단하게

처리됩니다.

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8. 예시(4)

동차부등식의 정규화를 한 번 볼까요?

예시로 알려드리면 이해가 빠를것입니다.

좀 어려운 예제이기는 합니다만

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양수 x, y 에 대해 위의 부등식을

증명하는 문제입니다.

양수 미지수 k 를 하나 더 써서

x 대신 kx

y 대신 ky

를 씁니다. 그러면, 좌변은

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우변은

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이 되는데, 양변에 k 가 약분되서

흔적없이 사라집니다.

동차성의 마법이죠!

k 가 없어졌지만

나는 미지수 하나를 추가했으므로

내맘대로 k, x, y 에 관한 조건식을

하나 추가할 권리가 생겼습니다.

그래서, 나에게 가장 유리할것 같은

조건식을 하나 만들어 넣을 수 있죠.

예를 들면, 아래와 같은 것들이 좋아 보이는데

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첫번째 조건식을 추가해보겠습니다.

(더 좋은것이 있을 수 있습니다.)

그러면 이제, 양수 x, y 에 대해

아래 부등식을 증명하면 됩니다.

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이 부등식은 여러가지 풀이가 가능한데,

(쉽지는 않습니다.)

일단, 통분해서 아래와 같이 증명 가능합니다.

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보다시피 등호는 x=y 일 때 성립합니다.

8. 그 외의 예시(5)

수학의 곳곳에 미지수를 늘리는 전략은

많이 있습니다.

대가를 지불하고 필요한 도구를 얻는거죠.

예를 들면,

3차방정식의 일반해를 구하는

카르다노 공식에서도 x 를

구하기 위해 x = u+v 로 미지수

하나 추가해서 풀고있고,

고유값 λ, 라그랑주 승수법의 λ 도

변수를 늘려서 이득을 얻는 과정입니다.

미분방정식에서도 새 함수변수를 가져와서

푸는 예가 많고,

선형계획법 같은데서도 많이 나옵니다.

(다음에 상세히 더 알려드리겠습니다.)

타원과 쌍곡선의 표준형을 유도할 때

엘레강트하게 사용할 수 있습니다.

일종의

수학적으로는 '후퇴를 가장한 전진' 입니다.

변수를 늘리는것은 혼란을 추가하는것이 아니라,

정보를 조직화하고 구조를 노출시키는

수단이 되곤합니다.

글이 많이 길어졌는데 재미없으면 어쩌죠.

이 글을 끝까지 다 읽으셨다면

수학덕후의 길에 1cm 더

가까워지셨을것 같습니다.

#문제해결전략 #미지수 #연립방정식 #동차부등식 #중복조합 #자유도 #조건식