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중선 정리 최간단 증명과 쉬운 암기법 (feat. 코사인법칙)

글·그림 알티수학 쌤 · · 알티수학 인벤토리

이 글에서는 코사인법칙으로 간단하게

중선정리를 유도해보겠습니다.

1. 중선 정리의 여러가지 유도방법

중선 정리를 증명하는 방법은

여러가지 재미있는 방법들이 많습니다.

그렇지만,

학교 공부에 시간에 쫓겨서

마음이 급한 고등학생들은

논증의 즐거움보다는

가장 단순하고 확실히 작동되는 방법을

원하는 경향이 많습니다.

그럴때는 아래와 같이

아무 생각이 필요없는 증명도

꽤 쓸만합니다.

2. 증명

아래 그림과 같은 △ABC 에서

변 BC 의 중점을 M 이라 하고,

세 변의 길이 AB, BC, CA 가 주어졌을때

중선 AM 의 길이를 구하면 됩니다.

중선 정리 최간단 증명과 쉬운 암기법 (feat. 코사인법칙) — 그림 1

① 세 변의 길이로 부터 cos∠B 를 구합니다.

코사인2법칙을 쓰면 아래와 같습니다.

cos⁡∠B=AB2+BC2−CA22⋅AB⋅BC\cos \angle B=\frac{AB^2+BC^2-CA^2}{2\cdot AB\cdot BC}

② 아래 그림과 같이 △ABM 에서

코사인2법칙을 한번 더 써서

AM 을 구하면 됩니다.

이때, cos∠B 자리에는 ① 에서 구해놓은 것을

대입해서 정리하면 되죠.

중선 정리 최간단 증명과 쉬운 암기법 (feat. 코사인법칙) — 그림 2
AM2=BA2+BM2−2BA⋅BM⋅cos⁡∠B\textcolor{#ff0010}{AM^2}=BA^2+BM^2-2BA\cdot BM\cdot \cos \angle B
=BA2+14BC2−2BA⋅(12BC)⋅AB2+BC2−CA22⋅AB⋅BC\qquad =BA^2+\frac{1}{4}BC^2-2BA\cdot \left(\frac{1}{2}BC\right)\cdot \frac{AB^2+BC^2-CA^2}{2\cdot AB\cdot BC}
=BA2+14BC2−12(AB2+BC2−CA2)\qquad =BA^2+\frac{1}{4}BC^2-\frac{1}{2}\left(AB^2+BC^2-CA^2\right)
=12AB2−14BC2+12CA2\qquad \textcolor{#ff0010}{=\frac{1}{2}AB^2-\frac{1}{4}BC^2+\frac{1}{2}CA^2}

이렇게 유도 됩니다.

그대로 써도 되지만, 이항해서

AB2+AC2=2(AM2+BM2)AB^2+AC^2=2\left(AM^2+BM^2\right)

으로 정리해도 되고,

또는

아래와 같은 형태로 많이 씁니다.

ma=122(b2+c2)−a2m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}

3. 암기법

중선정리는 모든 삼각형에서 성립하므로,

△ABC 가 이등변삼각형일때도 성립합니다. 즉,

AB2+AC2=2(AM2+BM2)AB^2+AC^2=2\left(AM^2+BM^2\right)

은 아래 식과 같고,

AB2+AC2=(AM2+BM2)+(AM2+CM2)AB^2+AC^2=\left(AM^2+BM^2\right)+\left(AM^2+CM^2\right)

이것은 아래 이등변삼각형에서 생각해보면

단순히 노란색, 초록색 직각삼각형의

두 개의 피타고라스 정리의 합과 같습니다.

중선 정리 최간단 증명과 쉬운 암기법 (feat. 코사인법칙) — 그림 3

4. 명칭에 관해서

이 정리의 명칭은 많습니다.

(1)

기원전 3세기 그리스 수학자 아폴로니오스

(Apollonius of Perga)

가 처음 언급했다고 알려져 있기 때문에

영어권에서는 아폴로니우스 정리

(Apollonius' theorem) 라고 합니다.

국제적으로 가장 널리 쓰이는 명칭이라 하네요.

(2)

중선정리라는 명칭은 한국과 일본에서 주로

사용된다고 하네요.

일본어로는 '中線定理' 입니다.

영어권에서는 벡터해석학, 물리학 분야에서 주로

'중선정리(Median theorem)'라 한다고 합니다.

(3)

파푸스 정리 또는 파푸스 중선정리라는 명칭은

주로 한국의 참고서에서 사용되는데

고대 그리스의 파푸스(Pappus of Alexandria, 4세기)가

중선 정리를 많이 언급했다고 합니다.

파푸스 이름이 붙어 있는 정리는 이것 외에도

여러가지가 많기 때문에 영어권에서는 안쓴다 하네요.

그래서, 명칭은

중선정리가 헷갈리지 않고 무난할것 같습니다.

#중선정리 #코사인법칙 #중선 #피타고라스

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