드가 정리(de Gua theorem) 중2 수학으로 간단히 증명 해보기, 피타고라스 정리의 3차원 확장판 (feat. 드구아 정리)
이 글에서는 '드구아 정리'라고 불리기도 하는
드가 정리를 피타로 간단히 증명해 보겠습니다.
1. 장 폴 드 가 드 말브
Jean Paul de Gua de Malves 는
18세기 프랑스 수학자입니다.
2. 참고로, 유럽 사람들 이름 형식
이름에 붙는 'de', 'von', 'van' 은
각각 프랑스, 독일, 네덜란드의 출신지역을 뜻합니다.
주로 귀족가문들이 이런 표시를 한다고 합니다.
뜻은 'from' 과 비슷한데 한글 표기 이름에
어떤것은 붙였다가 어떤것은 뗐다가 해서
종종 헷갈리는데, 조사해보니 이름의 일부분이 맞답니다.
예를 들면,
르네 데카르트 (René Descartes, 1596~1650)
피에르 드 페르마 (Pierre de Fermat, 1601?~1665)
아브라함 드 무아브르 (Abraham de Moivre, 1667~1754)
피에르-시몽 라플라스 (Pierre-Simon, marquis de Laplace, 1749~1827)
존 폰 노이만 (John von Neumann, 1903~1957)
카를 폰 슈바르츠실트 (Karl Schwarzschild, 1873~1916)
알렉상드르테오필 반데르몽 (Alexandre-Théophile Vandermonde, 1735~1796)
아무튼 수학내용이 중요하니
따라붙는 이름은 몰라도 됩니다.
3. 드 가 정리 (de Gua theorem)
아래 그림과 같이 OA, OB, OC 가 서로 서로 직각인
사면체에서 성립하는 넓이 관계식입니다.
여기서 삼각형 면이 4개가 있죠.
△OAB, △OBC, △OCA 넓이를 각각 S₁, S₂, S₃ 라 하고,
△ABC 의 넓이를 S 라 하면,
이 성립합니다.
이것을 드가 정리라고 하구요.
마치, 2차원 평면에서 성립하는 피타고라스 정리를
3차원으로 확장한 것처럼 보이는데,
실제로도 그렇습니다.
즉,
이 모양으로 그대로 n차원으로 확장이 됩니다.
일반적으로 n-simplex 에서 A_k 들이 모두 직교할 때
아래 관계식이 성립합니다.
(이 n차원 확장은 다음에 시간날때 알려드리겠습니다.)
그래서, 피타고라스 정리에서 드가 정리로의 연결은
이런 엘레강트한 일반화의 모티브라서
꽤 중요합니다.
4. 간단 증명
드가 정리는 여러가지 증명이 있는데,
여기서는 단순 피타고라스 정리만 해보겠습니다.
아래 그림과 같이 A 에서 BC 에 내린 수선의 발을 H 라 하면,
OH⊥BC 가 됩니다.
(이것은 삼수선 정리라고 하는건데,
고등학교 기하 과목에 나옵니다.)
중학생들은 당분간
직관적으로 이해하는 정도로 출발해도 됩니다.
여기서,
△OAB, △OBC, △OCA 의 넓이는 각각 S₁, S₂, S₃ 이고,
△ABC 의 넓이는 S 입니다.
그러면,
가 됩니다.
간단하네요.