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외심과 수심의 성질 OA+OB+OC=OH 의 증명, 실베스터 삼각형 문제 (feat. 오일러 직선, 세르보어 정리)

글·그림 알티수학 쌤 · · 알티수학 인벤토리

이 글에서는 외심과 수심에 관한 벡터 관계식

OA + OB + OC = OH 를

두 가지 방법으로 증명해 보겠습니다.

① 오일러 직선 이용

② 세르보어 정리 이용

1. 외심과 수심에 관한 성질

지난번에 오일러 직선을 증명했던 글에서

제가 언급했었던 벡터 관계식

OA⃗+OB⃗+OC⃗=OH⃗\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OH}

에 관한 질문이 있어서, 그 증명을 써보겠습니다.

이 문제는 실베스터 삼각형 문제라고 합니다.

(실베스터는 행렬에서 나오는 그분 맞습니다.)

외심과 수심의 성질 OA+OB+OC=OH 의 증명, 실베스터 삼각형 문제 (feat. 오일러 직선, 세르보어 정리) — 그림 1
외심과 수심의 성질 OA+OB+OC=OH 의 증명, 실베스터 삼각형 문제 (feat. 오일러 직선, 세르보어 정리) — 그림 2

James Joseph Sylvester

이 문제는 여러가지 버전의 증명이 있는데,

수선의 직교관계를 내적으로 계산하는 등의

증명은 복잡합니다.

여기서는, 간단하고 엘레강트한 두 가지만

살펴보겠습니다.

2. OG:GH = 1:2 이용한 증명

오일러 직선에서 O, G, H 는 일직선이고,

G 는 OH 의 1:2 내분점입니다.

외심과 수심의 성질 OA+OB+OC=OH 의 증명, 실베스터 삼각형 문제 (feat. 오일러 직선, 세르보어 정리) — 그림 3

따라서,

OH⃗=3⋅OG⃗=3⋅OA⃗+OB⃗+OC⃗3=OA⃗+OB⃗+OC⃗\vec{OH}=3\cdot \vec{OG}=3\cdot \frac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{3}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}

로 증명이 완료됩니다.

3. 세르보어 정리 이용한 증명

세르보어 정리에서 BC 의 중점을 M 이라 할 때

AH = 2·OM 입니다.

외심과 수심의 성질 OA+OB+OC=OH 의 증명, 실베스터 삼각형 문제 (feat. 오일러 직선, 세르보어 정리) — 그림 4

따라서,

OH⃗=OA⃗+AH⃗\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{AH}
  =OA⃗+2⋅OM⃗\quad \ \ =\vec{OA}+2\cdot \vec{OM}
  =OA⃗+2⋅(OB⃗+OC⃗2)\quad \ \ =\vec{OA}+2\cdot \left(\frac{\vec{OB}+\vec{OC}}{2}\right)
  =OA⃗+OB⃗+OC⃗\quad \ \ =\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}

로 증명이 완료됩니다.

4. 4지 선다시절?

옛날에는 시험에 출제되었나 봅니다.

외심과 수심의 성질 OA+OB+OC=OH 의 증명, 실베스터 삼각형 문제 (feat. 오일러 직선, 세르보어 정리) — 그림 5

그런데 문제가 웃기네요,

H 는 A, B, C 에 대칭적이어야 하니

1, 3번만 가능성이 있는데,

3번은 무게중심이고,

일반적으로 G 는 H 와 다르니 1번이 될 수 밖에요,,

그리고,

수심의 존재성에 대해 궁금하시다면

아래 링크를 읽어보세요~

#실베스터 #외심 #수심 #무게중심 #오일러직선 #세르보어 #벡터

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