암산으로 15도, 75도 특수각 삼각비 빠르게 계산하는 법 (피타 안씀)
이 글에서는 sin15° 와 같은
15°시리즈 삼각비 (15°, 75°, 105°, …) 들을
피타고라스 정리 쓰지 않고,
빠르게 계산하는 방법을 알려드립니다.~
1. 덧셈정리
일반적으로, 15°, 75° 의 삼각비들은
덧셈정리로 풀면 되죠.
예를 들면,
또는,
2. 피타고라스 정리로 계산
덧셈정리가 미적분2 과정이라서, 저학년들은
간단한 도형에서 피타고라스 정리로
계산하면 됩니다.
예를 들면,
아래 그림과 같은 15-75-90 삼각형에서
안쪽에 아래 그림과 같이 D 를 작도해서
30-60-90 삼각형을 만듭니다.
그러면, ∠CDB = 30° 이므로,
△ACD 의 외각의 성질에 의해
∠ACD = 15° 가 되고, 따라서 AD = DC 가 되죠.
선분의 비율에만 관심이 있으므로,
BC = 1 이라 두면,
각 선분의 길이가 아래의 그림과 같이 됩니다.
이제, △ABC 에서 피타를 써서 AC 를 구하죠.
이 부분 계산이 좀 드럽지만
그냥 합니다.
그리고나면,
△ABC 에서 15°, 75° 의 삼각비를 읽으면 됩니다.
처음부터 30-60-90 삼각형을 먼저 놓고,
즉, △CDB 를 먼저 놓고,
BD 의 연장선 위에 A 를 잡아서,
DA = DC 가 되도록 하는것도
이후 마찬가지 입니다.
3. 피타 안쓰는 도형 풀이
앞의 2에서 피타고라스 정리 쓰는 부분이
조금 불편했는데
아래와 같이 하면, 단순히 비례관계만으로
계산 가능합니다.
숙달이 되면 암산도 가능합니다.
① 직각이등변 삼각형 하나를
그림처럼 놓고, AH = 1 이라 합니다.
② 그러면 나머지 변의 길이도 정해집니다.
③ 오른쪽에 30-60-90 삼각형을 붙입니다.
변의 길이는 자동으로 결정됩니다.
④ 아래 그림과 같이 P 를 작도해서
BC 를 빗변으로 하는 직각이등변삼각형을
만들면, △ACP 의 길이도 쉽게 결정됩니다.
먼저 CP 가 BC 에서 √2 를 나누면 되므로
결정되고, BP = CP 이므로,
PA 도 위의 그림과 같이 결정됩니다.
⑤ 이제, △ACP 에서 삼각비를 읽으면 됩니다.
즉,
입니다.
통분이나 유리화는 필요할때 하면 됩니다.