알티수학 쌤 비법공개 #1 - 신박한 적분 계산법 하나 알려드림, 정적분으로 정의된 함수의 피적분 함수의 파라미터 x 의 실전 처리법 (feat. 변수, 파라미터)
이 글에서는 제가 수업하는 내용중에
정적분 계산법 하나를 설명하고 있습니다.
십수년동안 저와 저의 학생들은 잘 써먹었는데
아마 재미있으실겁니다.
이제 이 계산은 이렇게들 하세요~
1. 변수와 파라미터
변수(variable) 는 우리가 이때까지 알던 그것이므로
따로 설명이 필요없을듯 합니다.
파라미터(parameter)는 함수나 방정식의
특정 성질을 조절하는 상수역할을 하는 문자입니다.
예를 들어
에서, x, y 는 변수이고,
m, n 은 파라미터 입니다.
각각 기울기와 y절편을 의미하죠.
즉, 파라미터 m 을 바꾸면 직선의 방정식의
특정 속성(기울기) 가 바뀌는겁니다.
2. 피적분함수의 파라미터로 정의된 함수
3. 간단 예제
예를 들어, 아래 함수 f(x) 의 그래프를 그려봅시다.
교과서대로 푼다면,
적분구간 [1, 3] 과 x 의 대소관계에 따라,
아래와 같이 세 경우로 나눠서 계산합니다.
즉,
이어서,
그리고, 나머지 구간은
이렇게 계산합니다.
따라서, 구하는 f(x) 는 아래와 같습니다.
그래프도 그려보면,
아래 그림과 같습니다.
4. 이 계산을 개선해 보겠습니다.
위와 같이 계산했을 때, 손이 많이 가는 이유는
함수 f(x) 의 독립변수 x 가 피적분함수 안에서
파라미터로 역할을 하기 때문에
피적분함수 모양이 x 에 따라 바뀌므로
계산이 더럽습니다.
그러면 피적분함수를 바뀌게하는
파라미터를 없애버리면 좋겠죠.
즉, 치환적분을 한방 때리면
파라미터 역할을 하던 x 가 적분 구간으로
쫓겨나고 피적분함수가 딱 고정됩니다.
그러면 기분이 한결 나아집니다.
피적분함수 |u| 가 x 와 무관하니
개념적으로 좀 쉽습니다.
이제 다시 구간별로 계산하면 됩니다.
y=|u| 를 살짝 스케치 해놓고 계산하면 되죠.
결과를 정리해보면,
당연히 앞의 결과와 동일합니다.
5. 좀 더 개선해보겠습니다.
t 의 적분을 u 의 적분으로 바꾸면 조금 나아졌지만
여전히 손이 많이 갑니다. 그런데,
u 의 적분에서는 엄청난 도구가 하나 있습니다.
'미적분학의 기본정리'라고 불리죠.
즉, u 의 적분에서 피적분함수가 연속이기만하면
f(x) 는 미분가능합니다!
그러면, 아래와 같이 처리하면 몇 초 안걸립니다.
6. 추가 예시 문항 (1)
피적분함수가 단순 이차함수인 경우
그냥 깔끔하게 처리됩니다.
7. 추가 예시 문항 (2)
지수함수 예제도 하나 볼까요?
u 의 적분으로 바꿔 놓고,
무지성으로 계산으로 때우면 되고,
경우에 따라, f(x) 의 미분가능성을
이용해도 됩니다.
8. 추가 예시 문항 (3)
삼각함수 예제도 하나 구경하시죠.
무지성 계산도 재미있지만,
미분가능으로 좀 더 빠르게 진행할 수 있습니다.
혹시, 저의 학원에 문의가 있으시다면
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