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미적분으로 증명해보는 피타고라스 정리 (feat. 샌드위치정리)

글·그림 알티수학 쌤 · · 알티수학 인벤토리

이 글에서는 피타고라스 정리의 증명을

미적분(calculus)을 써서 증명해 보겠습니다.

변화율을 다루는 좋은 예제를 경험할 수 있습니다.

1. 증명의 기본 설정

아래 그림과 같이 직각삼각형 △ABC 를 생각합니다.

AB = b (상수)로 고정하고,

AC = x (독립변수) 라 둡니다.

이제 빗변 BC 를 f(x) 라 두고,

Δx, Δf 의 관계를 유도하는거죠.

미적분으로 증명해보는 피타고라스 정리 (feat. 샌드위치정리) — 그림 1

2. 변화율 계산

Δf/Δx 를 알고 싶은데, 그림에서 직접 계산이 어려우니

Δf/Δx 의 상한과 하한을 만들어 볼겁니다.

Δx → 0 을 할 예정이라서

샌드위치 정리가 잘 먹히는 상,하한을 고안해야 합니다.

3. 하한

D 에서 BQ 에 내린 수선의 발을 P 라 하면,

△CDP ∽ △CBA (AA) 이므로,

Δx : CP = f(x) : x

가 됩니다. 즉,

CPΔx=xf(x)\frac{CP}{\Delta x}=\frac{x}{f(x)}

가 됩니다 . 그런데,

Δf = CQ > CP 이므로,

ΔfΔx>CPΔx=xf(x)\frac{\Delta f}{\Delta x}>\frac{CP}{\Delta x}=\frac{x}{f(x)}

입니다.

4. 상한

C 에서 BD 에 내린 수선의 발을 R 이라 하면,

△DCR ∽ △DBA (AA) 이므로,

ΔfΔx=SDCD<RDCD=ADBD=x+Δxf(x)+Δf\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{SD}{CD}<\frac{RD}{CD}=\frac{AD}{BD}=\frac{x+\Delta x}{f(x)+\Delta f}
<x+Δxf(x)\quad \quad \quad \quad \quad <\frac{x+\Delta x}{f(x)}

가 됩니다.

5. 샌드위치 정리

위에서 구한 부등식을 적어보면

xf(x)<ΔfΔx<x+Δxf(x)\frac{x}{f(x)}<\frac{\Delta f}{\Delta x}<\frac{x+\Delta x}{f(x)}

이고, Δx → 0 을 해주면,

df(x)dx=xf(x)⋯(가)\frac{df(x)}{dx}=\frac{x}{f(x)}\quad \cdots (가)

을 얻을 수 있습니다.

6. 부정적분으로 계산 마무리

(가) 는 고쳐쓰면,

f"(x)f(x)=xf"(x)f(x)=x

이고, 이것은 곧 아래 식과 같죠.

12(f(x)2)"=x\frac{1}{2}\left(f(x)^2\right)"=x

양변을 부정적분 하면,

f(x)2=x2+Cf(x)^2=x^2+C

인데,

f(0)= b² 이니 적분상수 C = b² 이 됩니다. 즉,

f(x)2=x2+b2f(x)^2=x^2+b^2

이고, 이것은 곧 직각삼각형 △ABC 의

피타고라스 정리입니다.

7. Reference

① Elisha Scott Loomis,

The Pythagorean Proposition, 1968,

pp.244-245

미적분으로 증명해보는 피타고라스 정리 (feat. 샌드위치정리) — 그림 2

② Mike Staring,

Mathematics Magazine, Vol. 69,

No. 1 (Feb., 1996), pp. 45-46

The Pythagorean Proposition:

A Proof by Means of Calculus

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