알티수학 쌤 보조선 #8 - 슈텐 정리, 기하 보조선은 이유가 있다, 그리고 램브란트의 작품 (feat. ASA 합동, 톨레미 정리)
이 글에서는
슈텐 정리(Van Schooten's theorem)의
두 가지 증명과 따름 정리를 알아보겠습니다.
1. 슈텐 정리
아래 그림과 같이
정삼각형 △ABC 의 외접원 위의 한 점 P 에 대해
PA = PB + PC
가 성립하는데, 이 성질을 슈텐 정리라고 합니다.
PA = PB + PC
2. 증명 (톨레미 정리 활용)
사각형 ABPC 가 원에 내접하므로,
톨레미 정리를 쓰면,
PA·BC = AC·PB + AB·PC
이고, 양변에 AB = BC = CA 를 약분하면
증명이 완료됩니다.
PA = PB + PC
이렇게 톨레미 정리로 처리하면
간단하게 기억하기 좋습니다.
심심풀이로,
아래와 같이 중학교 교과 수준으로
따로 증명을 만들어보면 재미있습니다.
2. 증명 (중3 수준으로)
아래 그림과 같이 Q 를 작도해서
정삼각형 △PQC 를 만듭니다.
왜냐하면, PB + PC 에서 PC 를 PQ 로 대신해서
PB + PQ = BQ 로 일직선으로 만들면
PA 와 비교하기 쉬워지니까요.
여기서,
∠BPA = ∠BCA = 60° (∵호AB 의 원주각)
∠APC = ∠ABC = 60° (∵호AC 의 원주각)
∠CPQ = 60° (∵△PQC 정삼각형)
이므로 B, P, Q 는 일직선이 됩니다.
그러면 이제, BQ = AP 를 보이기만 하면 되겠네요.
이것은 약간 관찰을 해보면 아래 그림과 같이
빨간색 삼각형과 파란색 삼각형이 합동임을
쉽게 알 수 있습니다.
먼저 느낌으로 찾고,
그 다음에 합동조건을 찾으면 됩니다.
여기서는 ASA 합동이죠.
합동조건은
① AC = BC (∵정삼각형)
② ∠PAC = ∠QBC (∵호PC 의 원주각)
③ ∠ACP = ∠BCQ
이기 때문입니다.
여기서, ③ 이 되는 이유는
∠ACP = ∠ACB + ∠BCP = 60° + ∠BCP
∠BCQ = ∠PCQ + ∠BCP = 60° + ∠BCP
로 같음을 확인할 수 있습니다.
3. 보조선의 이유
모든 보조선은 나름의 이유가 있습니다.
기하 공부를 할 때,
"이 문제는 이런 보조선을 쓰니 되는구나" 를
신경쓰지말고
"이 문제에서 이 보조선을 어떤 아이디어로
만들었을까?" 를 고민하고, 답을 얻어야
그 문제를 공부한 것입니다.
앞의 증명에서 문제 해결의 핵심인 Q 점을 잡은 것은
PB + PC 를 일직선으로 펴주는 기능을 하도록
고안한것이죠.
같은 의미로 아래 그림과 같이 R 을 작도해서
정삼각형 △PRB 를 만들면
이 때도 CR 은 PB + PC 를 펴주는 역할을 합니다.
Q 를 사용하는것과 R 을 사용하는것은
문제의 구조상 좌우가 대등하니 같은 풀이이지만
처음에 배울때는 따로 따로 해보는것이
실력향상에 도움이 됩니다.
4. 다른 아이디어
이 문제는 해결할 수 있는 아이디어가 많습니다.
예를 들면,
아래 그림처럼 정삼각형 △BPS 로 해서
AS = PC 를 증명해도 되죠.
그리고나면 문제 해결을 위한 합동이 바로 보입니다.
이렇게, 가볍고 쉬운것들부터 이리저리 뜯어보면서
점차 익숙해지다보면
곧, 어려운 문제도 풀 수 있는 능력이 생깁니다.
기본기가 숙련이되면 그 위에 고급기능이 자연스럽게
쌓아올려지고,
또 숙련이 되면 그 다음 단계의 능력이 생깁니다.
급하다고 숙련의 단계를 생략하면
그때마다 레고 상자의 부품을 한 두개씩 흘리게 됩니다.
당장은 표시 안나다가 언제나 가장 결정적인 순간에
뭔가 모자라다는 사실을 알게되죠.
5. 슈텐 정리의 역
슈텐 정리는 역명제도 성립합니다.
즉, 정삼각형 △ABC 와 P 가 있을 때,
PA = PB + PC 라면, P 는 외접원 위에 있습니다.
갖고 놀기 좋은 장난감이 하나 더 생겼네요.
6. 빈출하는 따름정리
종종 아래와 같은 관계식이
슈텐 정리와 함께 따라 다닙니다.
여기서 a 는 정삼각형 한 변의 길이입니다.
즉, 제곱의 합은 (P 의 위치와 상관없이) 불변양 입니다.
증명은 코사인 2법칙으로 간단히 처리됩니다.
PA 자리에 PB + PC 를 대입해서 정리하는것이죠.
인데, △PBC 에서 코사인 2법칙을 쓰면,
∠BPC = 120° 이므로,
라서,
가 됩니다.
7. Van Schooten
1637년, 데카르트의 『기하학(La Géométrie)』이라는 책이 프랑스어로 출간됩니다. 프란시스쿠스 판 스후텐(Franciscus van Schooten)은 네덜란드 라이덴에서 활동했던 수학자로서 데카르트의 책을 번역과 상세한 해설을 제공함으로서 17세기 해석기하학의 문을 활짝 열어젖혔습니다. 판 스후텐은 원래부터 유복한 학문적 환경에 놓여 있었습니다. 그의 아버지, 프란시스쿠스 판 스후텐 시니어는 라이덴 대학의 수학 교수였고, 아들에게 수학의 기초를 일찍이 가르쳤죠. 이후 그는 파리로 유학을 떠나 페르마와 메르센 같은 당대의 수학자들과 교류하며 수학적 시야를 넓혔습니다. 그가 다시 네덜란드로 돌아왔을 때, 데카르트의 『기하학』은 이미 출간되어 있었지만, 라틴어를 읽지 못하거나 철학적 문장에 익숙하지 않은 수학자들에게는 접근하기 어려운 책이었습니다. 판 스후텐은 이 책을 라틴어로 다시 번역하면서, 단순한 번역이 아니라 자신과 동료들의 주석과 해설을 덧붙여 전혀 새로운 ‘교과서’로 재탄생시켰습니다. 이 확장판은 1649년에 출간되었고, 그야말로 유럽의 수학자들이 해석기하학을 배우는 핵심 자료가 되었죠. 뉴턴을 비롯한 후대 수학자들도 이 판본을 통해 데카르트의 기하학을 접했다고 전해집니다.
그의 기여는 여기서 그치지 않습니다. 그는 당대 젊은 수학 인재들을 지도하며 하나의 수학 학파를 형성했는데, 이 집단에는 후에 미적분학 발전에 이바지한 후이겐스 같은 인물도 포함되어 있었습니다. 수학자이자 교육자, 번역자이자 해설자로서 판 스후텐의 역할은 단순한 ‘전달자’를 넘어서, 새로운 수학의 지평을 함께 만들어간 ‘동시대의 설계자’였다고 할 수 있겠습니다. 1660년, 그는 안타깝게도 젊은 나이에 세상을 떠났지만, 그가 남긴 영향은 수세기를 넘어 오늘날에도 유효합니다.
8. 높은 모자와 장갑을 가진 신사의 초상화
구글을 뒤적거리다 발견한 재미있는 사실은
이분이 아래 램브란트 그림의 모델이라 합니다.
그림 설명은 아래와 같습니다.
1658년 렘브란트가 그린 "높은 모자와 장갑을 가진 신사의 초상화"는 우아함과 정교함이 돋보이는 작품이다. 그런데 이 그림에는 놀라운 비밀이 숨어있다. 그림 속 주인공은 바로 데카르트의 기하학을 라틴어로 번역해 유럽 전역에 해석기하학을 퍼뜨린 수학자 프란스 반 스호턴 2세(1615-1660)인 것이다.
이 작품에서 가장 눈에 띄는 것은 렘브란트 특유의 '키아로스쿠로(Chiaroscuro)' 기법이다. 명암 대비를 극대화한 이 조명 기술을 통해 수학자의 얼굴 세부사항을 더욱 생생하게 강조하고, 그림 전체에 깊이감을 부여했다. 어두운 배경 속에서 중앙에 배치된 인물이 더욱 돋보이게 만드는 구성도 인상적이다.
색채 면에서 렘브란트는 어둡고 차분한 톤의 제한된 팔레트를 사용해 초상화의 우아함과 품격을 한층 강조했다. 느슨하면서도 자신감 넘치는 붓터치는 그림에 생동감과 현실감을 더해준다. 특히 스호턴이 착용한 높은 모자와 장갑은 당시 지위와 권력의 상징이었기 때문에, 라이덴 대학교 수학 교수였던 그의 사회적 위치를 잘 보여준다.
더욱 흥미로운 점은 이 그림이 스호턴과 그의 아내 마르그리타 바이난츠를 그린 한 쌍의 초상화 중 하나라는 사실이다. 부부의 초상화는 현재 미국 워싱턴 D.C.의 국립미술관에 소장되어 있으며, 2018년에야 이 그림들의 정체가 정확히 밝혀졌다.
17세기 네덜란드에서 수학과 예술이 어떻게 만났는지를 보여주는 이 작품은 단순한 초상화를 넘어서 당시 지식인 사회의 문화적 맥락을 담고 있다. 데카르트의 혁명적 아이디어를 세상에 알린 수학자가 당대 최고의 화가에 의해 영원히 기록되었다는 것은, 그 자체로도 흥미진진한 역사적 사건이다.
결국 이 작품은 기술적 완성도, 구성의 균형, 색채의 조화는 물론 수학사와 미술사가 만나는 특별한 의미까지 갖춘 렘브란트의 숨겨진 걸작이라고 할 수 있다.
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