알티수학 쌤 보조선 #7 - 선대칭과 concyclic 의 활용, 2024 KMO 38회 중등1차 기하 기출 4번 해설 (feat. 수학적 직관)
이 글에서는 2024년 KMO 1차 기출 문제
네번째 기하문제의 해설을 담았습니다.
출제된 문제는 아래와 같습니다.
2024 KMO 38회 중등1차 기하 4번째 문제
1. 그림그리기
문제의 조건대로 그림을 그려보면 아래와 같습니다.
2. 문제의 요구사항
문제의 요구사항을 먼저 한번 보면 AX×AF 입니다.
왜 하필이면 이 값을 구하라고 하는걸까요?
무의미 할수도 있고,
어떤 의미가 있을수도 있는데,
무의미하다면 AX 와 AF 의 값을
각각 따로 구해서 곱해야 하고,
의미가 있다면 그것을 이용해아겠죠.
3. 공원점 M, P, E, F
위 그림에서 노란색 표시부분의 네 점
P, M, F, E 는 공원점입니다.
직각 표시된 각이 마주보고 있기 때문이죠.
이 때, 외접원의 지름이 PF 인것도 쉽게 알 수 있구요.
공원점은 대부분 매우 중요한 힌트이기 때문에
화들짝 반겨서 챙길만한 아이템입니다.
4. 눈치껏
눈치껏 추측을 해보면,
만약, X 가 공원점에 추가될 수 있다면,
AX×AF 는 A 점의 방멱이네요.
그림상으로 봐도 그럴싸해 보입니다. 그렇다면,
AX×AF = AP×AM = 10×30 = 300
이 답이 됩니다.
5. 뒷처리하기
KMO 가 단답형 시험이다보니
이쯤에서 300 으로 찍고 넘기면 되지만
X, E, F, M, P 가 공원점임을
증명해서 완성을 해보겠습니다.
문제에서 주어진 조건 MX=ME 를
잘 사용해야할것 같습니다.
(이 부분이 쉽지않고 그래서 매우 재미있는 대목입니다.)
이것 저것 시도를 해보다가
아래와 같은 Y 점을 작도했습니다.
즉, MF 에 대한 X 의 대칭점이 Y 입니다.
전체 그림의 등변사다리꼴이 좌우대칭이니
이 Y 는 비교적 쉽게 발상이 가능하고,
실제로 매우 도움이 됩니다. 그러면,
△MXF≡△MYF 이고, ME=MY 이므로,
△MYE 가 이등변삼각형이 되고, 따라서,
가 되는데 이것은 곧,
를 의미해서, 열호 MF 의 원주각의 성질에 의해
X, E, F, M, P 가 공원점임이 확인됩니다.
5. concyclic(공원점), cyclic(원내접다각형)
몇 개의 점들이 동일한 원의 원주위에 있는 상태를
concyclic 이라고 합니다.
한자말로는 공원점이라 합니다.
예를 들어,
모든 삼각형은 외접원이 존재하므로
모든 세 점은 concyclic 입니다.
(일직선을 이루는 세 점은
반지름이 무한히 큰 원 위에 있다라고 생각 합니다.)
그리고, 네 점 이상이 concyclic 인것은
매우 특별하고 소중한(?) 조건이 주어진것입니다.
어떤 다각형이 원에 내접하는 상태를
cyclic 이라고 합니다.
원내접다각형을 의미합니다.
예를 들어,
모든 삼각형은 cyclic 입니다.
직사각형은 cyclic 이고,
직사각형이 아닌 평행사변형은 cyclic 이 아닙니다.
정다각형은 모두 cyclic 입니다.
이와같이,
concyclic 과 cyclic 은 뜻은 살짝 다르지만
내용은 똑같으므로 보통은 서로 구분없이 씁니다.
6. 수학적 직관(Mathematical Intuition)
문제를 봤을 때 즉시 해법이나 다음 단계가 떠오르거나,
어떤 결과가 나올지 미리 짐작하는 능력을
저는 '눈치가 빨라야 된다.' 라고 합니다만,
공식적으로는 '수학적 직관(Mathematical Intuition)'
이라고 합니다.
이런 직관을 바탕으로 어떤 결론이나 해법을 임시로
제시하는 것을 '추측(Conjecture)' 라고 합니다.
추측은 아직 증명되지 않았지만,
경험이나 통찰을 통해 '그럴 것 같다'고 생각하는
명제입니다.
유명한 수학 문제 중에는 수백 년 동안 풀리지 않는
추측들도 많습니다. (예: 골드바흐 추측, 리만 가설 등)
7. 더 잘 추측하려면
조지 폴리아(George Pólya) 같은 학자들은
수학적 추측과 발견의 과정을 체계화하는
연구를 했다고 합니다.
(이분 이름 정확한 헝가리 발음이 '포여 죄르지'입니다.)
이 책에 보면,수학적 추측을 잘 하게 하는 전략들이
여러가지 분류되어 있는데,
엄청 유명한 책이니 심심할때 읽어보시길
추천합니다.
가장 중요한 결론 중의 하나는
아래와 같습니다.
개념적으로 숙련되는 것이
추측 능력을 발동시키는 데
큰 영향을 준다.
학원홍보를 위해 블로그를 만들었는데
매일 수학덕질만 하고 있네요.
혹시, 저의 학원에 문의가 있으시다면
아래 톡톡을 이용해 주십시오
이 글에서 다룬 문제의 저작권은 출제 기관·출제자에게 있으며, 학습과 비평을 목적으로 낱문항만 인용했습니다. 해설과 그림은 필자가 직접 작성한 것입니다. 삭제를 원하시면 rtshhw@naver.com 로 연락 주십시오.