2025 KMO 39회 중등1차 기하 기출 3번 리뷰, 꼭 알아야 하는 내접원 접선의 길이
이 글에서는 2025년 KMO 1차 기출 문제
세번째 기하문제를 풀어보겠습니다.
문제는 아래와 같습니다.
2025 KMO 39회 중등1차 기하 3번 문제
1 그림 그려보기
문제의 조건대로 그림을 그려보겠습니다.
2025 KMO 39회 중등1차 기하 3번 문제 그림
△ABC 의 세 변의 길이가 주어져 있고,
변의 길이비가 5:6:7 이네요. 변의 길이로 봐서는
특별한 성질이 있는 삼각형은 아닌데요,
정삼각형이 아닌 삼각형 중에
변의 길이비가 가장 간단한 정수비를 갖는
예각삼각형을 준 상태입니다.
혹시,
예각삼각형에서 성립하는 어떤 성질에 관한
문제일지도 모르겠네요.
2 문제에서 요구하는 XY 는 “현의 길이”
현의 길이를 구할때는
원의 중심에서 수선을 내려서 피타고라스로
푸는것이 국룰이죠.
2025 KMO 39회 중등1차 기하 3번 문제 보조선
여기서 피타를 써서
이렇게 계산하면 됩니다.
그러면 IX 와 IH 의 길이를 구해야 되는데,
이 상태로는 구할 수가 없으니
문제에서 주어진 힌트들과 연계해서
단서를 찾아봐야죠.
그러면, 곧 IX=IA 로 대신하고,
IH=r (내접원의 반지름)임이
쓸만하다라는 것을 발견할 수 있습니다.
3 풀이 진행이 가능할지 체크
△ABC 의 세 변의 길이가 주어져 있으므로,
헤론쓴다면 삼각형의 넓이가 구해지고,
내접원의 반지름도 구할 수 있습니다.
AI 는...
∠A 의 이등분선의 길이를 먼저 계산하고
∠B 의 각의 이등분선 정리를 한번 더 쓰면 되지만...
그 계산은 더러워서 웬만하면
내키지 않는 진행이라 잠시 보류 해봅니다.
혹, 관심있으시면 아래 글에 각의 이등분선 길이
공식이 있으니 한번 해보시는것도 좋은 공부가 됩니다.
4 일단 보조선을 좀 더 그려봅니다.
내접원을 그려보고, AI 를 그어보면
(BI 나 CI를 잇는것은 아무리봐도 좀 아니니까요)
여기서, IA=IX, IT=IH 네요.
이렇게 두 변의 길이가 같은 것을
발견하고나면 합동이 보입니다.
개꿀입니다.
5 그러면 이제 XH=AT 로 끝납니다.
피타도 필요없고요. 즉,
와 같이 계산해서, 답은 24 입니다.
6 풀이는 예쁘게
아래와 같이 다시 작성합니다.
실제 푸는 과정은 웬만큼 삽질을 했어도
최종 풀이는 군더더기 없이
전지적 관점으로 다시 써 주는거죠.
아마 채점하시는 분께 딱 필요한 내용만 보여드려서
쓸데없이 귀찮게 하지 않겠다는
존경과 배려같은것 아닐까요..?
다만, 배우는 학생들은
전지적 풀이를 보면 멘붕할 수 있습니다.
아는만큼 보여서 이심전심 하는거라…
2025 KMO 39회 중등1차 기하 3번 문제 알티수학쌤 해설
참고로, 내접원의 접선의 길이를 구하는 식은
반드시 사용할 줄 알아야 하는 기본 공식입니다.
오늘도 수학과 함께 즐거운 하루보내시고
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이 글에서 다룬 문제의 저작권은 출제 기관·출제자에게 있으며, 학습과 비평을 목적으로 낱문항만 인용했습니다. 해설과 그림은 필자가 직접 작성한 것입니다. 삭제를 원하시면 rtshhw@naver.com 로 연락 주십시오.