알티수학 쌤 보조선 #1 - 2025 KMO 39회 중등1차 기하 기출 1번 리뷰 (feat.수학 센스)
이 글에서는 KMO 기출로 나온 문제를 소개하고,
풀이에 적용해 볼 수 있는 여러 방법들과
센스 있는 풀이에 이르는 과정을 설명합니다.
문제는 아래와 같습니다.
2025 KMO 39회 중등1차 기하 1번 문제
문제의 조건에 맞게 그림을 그려보면
아래와 같이 네 변의 길이가 주어졌고,
∠B 가 직각입니다.
2025 KMO 39회 중등1차 기하 1번 그림
이제 어떻게 요리해먹을것인지 생각을 해봅니다.
기하 문제를 풀 때, 가장 재미있는 시간이죠.
풀이 재료가 될 만한 생각들을 적어보면,
(1) 사각형을 잘라서 삼각형으로 계산할까?
(2) 가능하면, BD 로는 자르고 싶지 않다. (직각을 깨고 싶지 않아서)
(3) AC 로 자르면 △ABC 가 3:4:5 이다. 대박!
(4) 12, 13 이 피타고라스수 (5, 12, 13) 을 의심하게 한다.
△ABC 가 3:4:5 인것이 너무 그럴싸하니
AC 로 자르면 아래 그림과 같습니다.
이 때, AC=15 가 됩니다.
이제, |△ABC|=54 이니, |△ACD| 만 구하면 되네요.
△ACD 는 세 변의 길이를 알고 있으니,
① 헤론의 공식공식을 쓰거나
② 피타고라스 정리 두 번 쓰면
높이를 구할 수 있습니다. 즉,
A 에서 CD 의 연장선에 내린 수선의 길이,
C 에서 AD 의 연장선에 내린 수선의 길이,
D 에서 AC 에 내린 수선의 길이,
셋 중 아무거나 구할 수 있고,
밑변과 높이를 알면 넓이를 구할 수 있습니다.
그런데, 아무래도 피타고라스 수 (5, 12, 13) 이
의심스럽죠.
여기서, 수학적 센스를 발휘해보면,
∠B=90° 에다가 아래 그림과 같이 (5, 12, 13) 짜리
직각삼각형을 만들어 주면 안성맞춤이 되고,
이 때, 아래쪽에 두 삼각형이 합동이 뜹니다.
따단~!
그래서, 아래와 같은 풀이를 적을 수 있습니다.
2025 KMO 39회 중등1차 기하 1번 알티수학쌤 해설
헤론이나 피타보다는 조금 더 성취감이 드네요.
재밌지요? 인사이트도 좀 챙기셨는지요?
오늘도 수학과 함께 즐거운 하루보내시고
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이 글에서 다룬 문제의 저작권은 출제 기관·출제자에게 있으며, 학습과 비평을 목적으로 낱문항만 인용했습니다. 해설과 그림은 필자가 직접 작성한 것입니다. 삭제를 원하시면 rtshhw@naver.com 로 연락 주십시오.