알티수학 쌤 보조선 #5 - 2024 KMO 38회 중등1차 기하 기출 5번 해설, 평범한 닮음 문제 (feat.각을 이등분하는 보조선)
이 글에서는 2024년 KMO 1차 기출 문제
다섯번째 기하문제의 해설을 담았습니다.
출제된 문제는 아래와 같습니다.
2024 KMO 38회 중등1차 기하 5번 문제
1. 그림그리기
문제의 조건대로 그림을 그려보면 아래와 같습니다.
2∠CAD = ∠BAD 조건을 잘 확인해야 합니다.
이 조건을 어떻게 요리해 먹을건지
생각하는 과정이 재미있습니다.
2. 보조선
저는 아래 그림과 같이 ∠BAD 를 반으로 잘라서
같은 각을 많이 만들어 주는 계획을 세웠습니다.
같은각을 찾아보면
∠CAD, ∠DAF, ∠FAB,
또, 원주각으로
∠CBD, ∠DBF, ∠BDF, ∠BCF, ∠DCF
등이 모두 같습니다.
3. 어떻게 처리할까?
AD, BF 의 연장선의 교점 P 를 잡아보겠습니다.
그러면, 아래 그림과 같이
합동인 직각삼각형이 두 쌍 나옵니다.
그리고, 이 네개의 직각삼각형은 모두 닮음입니다.
3. 계산(1)
△CAE~△FAB 이고, 닮음비는
AE:AB = 20:36 = 5:9
이므로 CE=5k, FB=9k 라 한다.
4. 계산(2)
△AFP≡△AFB 이므로, FB=FP=9k
즉, BP=18k=BE (∵△BDP≡△BDE)
그리고,
AP=AB=36 이므로, ED=DP=8
5. 계산(3)
△CAE~△DBE 에 의해
DE:EB=CE:AE 를 계산하면 k=4/3
6. 계산(4)
끝으로, △DBE 에서 피타고라스 정리를 쓰면
BD²=512 입니다.
즉, 답은 512 입니다.
이 문제를 푸는 절차는 아래와 같습니다.
그림그리기
각찾기
합동, 닮음 조사
계산
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이 글에서 다룬 문제의 저작권은 출제 기관·출제자에게 있으며, 학습과 비평을 목적으로 낱문항만 인용했습니다. 해설과 그림은 필자가 직접 작성한 것입니다. 삭제를 원하시면 rtshhw@naver.com 로 연락 주십시오.