알티수학 쌤 보조선 #6 - 삼도극 치트키, ASA 조건으로 결정된 삼각형의 넓이 공식 유도 (feat. 삼각형 결정조건과 넓이, 수학 주제탐구)
이 글에서는 ASA 로 결정된 삼각형의 넓이를
논증기하로 유도하는 과정을 알려드립니다.
1. 삼각형의 결정조건
삼각형의 결정조건은 세 가지가 있습니다.
SSS, SAS, ASA
이죠.
각 경우 삼각형이 정해져서 고정되므로
그 넓이도 정해집니다.
여기서는 이와 관련한 넓이 공식을 살펴보겠습니다.
2. SSS 로 결정되는 넓이
SSS 조건인 경우, 세 변의 길이가 주어져 있으므로,
한 꼭짓점에서 수선을 내리고
피타고라스 정리를 쓰면
높이를 구할 수 있습니다.
어느 방향이든 높이만 구하면 넓이를 구할 수 있죠.
또는,
이 과정을 일반화해서 공식으로 만든것이
헤론의 공식입니다.
△ABC 의 세 변의 길이를 a, b, c 라 하고,
라 할 때,
입니다.
(그냥 이대로 외워서 쓰시면 됩니다.)
3. SAS 로 결정되는 넓이
이건 누구나 아는 중요한 공식입니다.
△ABC 에서 ∠A 와 양쪽 두 변 b, c 를 알면
입니다.
4. ASA 로 결정되는 넓이
여기서는 이 공식을 논증기하로 유도해 보겠습니다.
사인법칙으로도 가능하니
심심할때 해보시면 재미있습니다.
유도과정은 아래와 같습니다.
뒷부분의 tan 로 이루어진 분수는
"조화평균의 절반"으로 눈도장 찍어두면
기억하기 쉽습니다.
5. 살짝 변형
아래와 같이 sin 으로 표현할 수도 있습니다.
B+C 는 A 로 바꿔도 되고,
A 가 특수각이면 sin 버전이 쓰기 편합니다.
외접원의 반지름 R 을 써서
약간 더 변형하면 아래와 같습니다.
저는 저절로 외워져서 아는 공식들이지만
tan 버전은 외워두시기를 추천합니다.
6. 언제 써먹나?
수능형 문제에서 삼각형 넓이 구할때
가끔 나옵니다.
몇 초 아낄 수 있습니다.
또는,
내용을 좀 더 보완해서
주제탐구로 써봐도 좋을것 같네요.
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