n항 라그랑주 항등식(Lagrange's Identity)을 증명해볼까요? (feat.수학적 귀납법, 코시-슈바르츠 부등식, 주제탐구)
이 글에서는 n항 라그랑주 항등식을
수학적 귀납법으로 증명하고, 이로부터
n항 코시-슈바르츠 부등식을 유도하겠습니다.
1. 라그랑주 항등식
라그랑주 항등식은
① 단지 그냥 수식
② 벡터 해석
③ 코시-슈바르츠 부등식
④ 설문조사에 사용되는 네이만 할당
(neyman Allocation in Probability Sampling)
⑤ 피어슨 상관계수
(Pearson Correlation Coefficient)
⑥ 미국 하원 의석수를 결정하는 균등 비례법
(equal Proportions: U.S. House of Representatives)
에서 중요한 역할을 합니다.
필요하다면 각 주제를 좀 더 조사해보면
재미있는 공부를 할 수 있을겁니다.
모양은 아래와 같이 생겼습니다.
라그랑주 항등식
특히, n=2 일 때는 고1 내신 문제로도 잘 나오니
꼭 외워둬야 합니다.
아래와 같은 모양입니다.
2항 라그랑주 항등식
참고로, n=3 일 때는 아래와 같습니다.
2. 라그랑주 항등식의 증명
여기서는, 수학적 귀납법으로
진행하는 과정을 보여드리겠습니다.
① 수학적 귀납법의 시작점
n=2 일 때는, 그냥 전개해보면 됩니다.
좌변을 전개해서 우변으로 바꾸는 과정은
아래와 같이 진행됩니다.
2항 라그랑주 항등식의 증명
② 귀납가정
n=k 일 때, 성립한다고 가정하죠.
즉,
가 성립합니다.
③ 수학적 귀납법의 연결
이 부분은 아래와 같이 차분하게
시그마 계산을 또박또박 진행하면 됩니다.
n항 라그랑주 항등식의 수학적 귀납법 증명
이렇게 하면 됩니다.
3. 코시-슈바르츠 부등식
라그랑주 항등식을 증명했으면
이제, 코시-슈바르츠 부등식은
공짜로 후루룩 먹을 수 있습니다.
잘 완성되었습니다.
4. 라그랑주 (Joseph-Louis Lagrange)
조제프 루이 라그랑주(Joseph-Louis Lagrange, 1736-1813)는 18세기 후반과 19세기 초반을 대표하는 수학자이자 물리학자입니다. 이탈리아 토리노에서 태어났지만, 생애의 대부분을 프랑스에서 보내며 수학사에 길이 남을 업적들을 남겼습니다.
라그랑주의 천재성은 어린 시절부터 빛을 발했습니다. 불과 19세의 나이에 변분법의 기초를 확립했고, 이는 훗날 물리학의 라그랑주 역학으로 발전하게 됩니다. 그의 이름이 붙은 수학 개념들은 수없이 많습니다. 라그랑주 승수법, 라그랑주 보간법, 라그랑주의 정리 등은 현재도 공학과 과학의 다양한 분야에서 활용되고 있습니다.
특히 흥미로운 점은 라그랑주가 "순수 분석의 아버지"라고 불린다는 사실입니다. 그는 기하학적 직관에 의존하지 않고 오직 대수적 방법만으로 미적분학을 전개하려고 시도했습니다. 그의 저서 《해석역학》에서는 "이 책에서는 어떤 도형도 찾아볼 수 없을 것이다"라고 선언하기도 했습니다.
라그랑주는 또한 격변의 시대를 살았던 인물이기도 합니다. 프랑스 혁명 시기에도 학문에 매진했으며, 나폴레옹 시대에는 황제의 두터운 신임을 받았습니다. 그의 장례식에는 나폴레옹이 직접 참석하여 "라그랑주는 수학의 고귀한 피라미드였다"라고 추도했다고 전해집니다.
제가 소싯적 물리 배울때,
뉴턴에게 얻어맞은 고통을 겨우 견디고나니
예상치못한 라그랑주가 나타나서
한번 더 두들겨 맞았던것 같네요.
(virtual work 부터 기절 ㅋㅋ)
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