세르보어 정리의 증명과 기출문제 유형 살펴보기 (feat.중점연결정리)
이 글에서는 세르보어 정리를 증명하고,
학교 시험에서 나온 사례를 살펴보겠습니다.
1. 세르보어 정리
△ABC 의 수심을 H 라 하고,
외심을 O 라 할 때,
AH=2OM 이 성립한다.
(M 은 BC 의 중점)
세르보어 정리 AH=2OM
2. 오일러 직선 연관
오일러 직선을 안다면
그냥 당연한 사실이 됩니다.
무게중심 G 가 OH 의 1:2 내분점이므로
△AGH ∽ △MGO (SAS 닮음)
이고
닮음비가 1:2 이니
OM:AH = 1:2
가 됩니다.
오일러 직선에 관해서는
지난번 글을 참조해 주세요.
3. 일반적으로
오일러 직선과 무관하게 증명하는 과정은
아래와 같이 중점연결정리를 씁니다.
(1) △ABC 가 예각 삼각형일 때
수심과 외심은 모두 △ABC 의 내부에 있고,
두 수선 AD 와 CE 의 교점이 수심 H 이다.
아래 그림과 같이 외접원을 표시하고
지름 BF 를 그으면 ∠BCF=∠BAF=90° 가 되므로
AH//FC, CH//FA 가 된다.
즉, AHCF 는 평행사변형이므로,
AH=FC 이다. ㉮
그런데, △BCF 의 중점연결정리로부터
FC=2OM 이 된다. ㉯
그러므로, ㉮, ㉯ 에 의해 AH=2OM 이다.
(2) △ABC 가 둔각 삼각형일 때
수심과 외심은 모두 △ABC 의 외부에 있고,
마찬가지로, 두 수선 AD, CE 의 교점 H 는 수심이다.
아래 그림에서 지름 CF 를 그으면 ∠CBF=∠CAF=90° 가 되고,
따라서, AH//BF, BH//FA 가 된다.
즉, AHBF 는 평행사변형이므로, AH=BF 이다. ㉮
그런데, △CBF 의 중점연결정리로부터 BF=2OM 이 된다. ㉯
그러므로, ㉮, ㉯ 에 의해 AH=2OM 이다.
(3) △ABC 가 ∠A=90° 인 직각삼각형일 때
H=A, O=M 이 되므로,
여전히 AH=2OM (=0) 이 성립한다.
4. 다른 증명
다른 증명방법도 여러가지가 있습니다.
중점연결정리를 먼저 사용하는 한 가지만
더 보겠습니다.
아래 그림과 같이
AB 의 중점을 N 이라하고,
BH 의 중점을 K 라 하면,
△ABH 에서 중점연결 정리로
2NK=AH, OM//AH//NK
△BCH 에서 중점연결 정리로
2KM=CH, ON//CH//MK
이므로 OMKN 이 평행사변형이 됩니다.
따라서, OM=NK 라서
2OM=AH
가 됩니다.
5. 학교시험
학교시험에는 아래와 같이 나온것이 있습니다.
AF 의 길이를 구하는 문제입니다.
O 에서 BC 에 수선 내리고 M 이라 하면,
BO=AO=4, BM=3 이므로
피타고라스 정리쓰면 OM=√7 이고
AF = 2√7 입니다.
외접원의 반지름을 구하는 문제입니다.
O 에서 BC 에 수선 내리고 M 이라 하면,
BO=R, OM=5, BM=7 이므로
피타고라스 정리쓰면 BO=R=√74 입니다.
5. 프랑수아 조제프 세르부아
프랑수아 조제프 세르보어(François-Joseph Servois, 1767–1847)는 자주 언급되는 이름은 아닙니다. 하지만 그가 남긴 사유의 흔적은 우리가 오늘날 너무도 익숙하게 사용하는 수학적 언어 속에 조용히 스며 있습니다. 세르보어는 처음에는 신학을 공부했지만, 프랑스 혁명기의 소용돌이 속에서 군인이 되었고, 그곳에서 수학과 본격적으로 조우하게 됩니다. 그는 군사 공병으로 복무하며 포병학교에서 수학을 가르쳤는데, 전장 위의 포탄 궤적과 계산표 너머로 수학이라는 언어가 세계를 어떻게 설명하는지를 직관적으로 느꼈던 것 같습니다. 세르보어의 관심은 점차 구체적인 문제 해결을 넘어서, 수학 자체의 언어와 구조로 향하게 됩니다. 그는 함수, 연산자, 대수적 표현 등을 다루면서 이들이 어떤 논리적 성질을 갖추고 있는지에 대해 깊은 관심을 가졌고, 마침내 오늘날까지 사용되는 개념어 중 하나인 ‘선형(linear)’이라는 용어를 수학적으로 정의하고 사용한 인물이 됩니다. 함수가 덧셈에 대해 가법적이고, 스칼라 곱에 대해 분배적일 때 그 성질을 ‘선형’이라 부른다는 그의 정리는, 단순한 명명 이상의 의미를 갖습니다. 이는 수학적 구조를 기술하는 방식에 질서를 부여하는 하나의 문법이 되었고, 이후 선형대수, 연산자 이론, 그리고 미적분의 다양한 분야에서 중심 개념으로 자리 잡게 됩니다. 또한 그는 ‘연산자(operator)’라는 말을 수학적 맥락에서 도입한 초기 인물 중 하나였습니다. 함수 그 자체가 아닌, 함수를 다루는 행위나 과정을 대상으로 사고하기 시작한 이 시도는, 수학의 추상화 수준을 한 단계 끌어올리는 결정적 순간 중 하나였습니다. 세르보어는 특히 라이브니츠의 미적분 표기법에 깊은 관심을 가졌는데, 연산 기호를 단순한 도구가 아닌 일관된 대수적 대상으로 보는 관점을 통해 수학 표현의 형식적 정합성을 강조했습니다. 그는 자신이 다루는 수학이 단순히 수치를 다루는 기법이 아니라, 논리와 표현이 정제된 언어가 되어야 한다고 믿었습니다. 그의 이런 관점은 훗날 연산자 대수나 함수해석학 같은 분야가 형성되는 데 중요한 기반을 제공합니다. 그럼에도 불구하고 세르보어는 가우스나 푸리에처럼 한 시대를 대표하는 이름으로 남지는 못했습니다. 그의 연구는 대부분 정의와 개념 정리에 집중되어 있었고, 이를 통해 파생되는 대중적 성과가 부족했던 탓에 수학사에서 상대적으로 조명을 받지 못한 것입니다. 하지만 역설적이게도, 우리가 오늘날 아무런 위화감 없이 사용하는 수학적 표현 속에는 그가 다듬고 고안한 언어적 기반이 고스란히 남아 있습니다. ‘선형’, ‘연산자’, ‘형식성’—이 단어들은 세르보어의 사유 없이는 지금의 익숙함을 갖기 어려웠을지도 모릅니다.
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