중1수학 치트키, 원뿔대와 각뿔대의 부피를 암산하는 방법과 공식의 증명 (feat.헤론 평균)
이 글에서는 뿔대의 부피를
암산으로 계산하는 방법을 설명드리겠습니다.
계산 절차는 몇 가지 방법이 있지만
오늘은 헤론 평균을 쓰는 방법을 다루겠습니다.
1. 뿔대
아래 그림과 같이 뿔에서 윗부분을 잘라내고
아래쪽에 남은 부분을 뿔대라고 하겠습니다.
이 때, 윗면과 아랫면은 평행합니다.
원뿔에서 자른것을 원뿔대
각뿔에서 자른것을 각뿔대
라고 합니다.
2. 교과서 계산법
아래 문제와 같은 절차로 계산을 합니다.
계산 결과는 아래와 같습니다.
3. 암산방법
① 윗면의 넓이를 구합니다. 2×3=6
② 아랫면의 넓이를 구합니다. 4×6=24
③ 윗면, 아랫면 넓이의 기하평균을 구합니다.
개념적으로 넓이의 평균이니 기하평균으로
평균을 낸다고 생각하면 기억하기 쉽습니다.
④ 위에서 계산한 세 숫자를 평균냅니다.
여기서는 산술평균입니다.
⑤ 이제 높이를 곱하면 14×4=56 이 답입니다.
즉, 공식은 아래와 같습니다.
윗면 넓이를 U (upward)
아랫면 넓이를 D (downward)
높이를 h 라 할 때, (height)
각뿔대, 원뿔대 상관없이 잘 됩니다.
4. 헤론 평균
기본 아이디어는 뿔대의 부피를
부피와 높이가 같은 기둥으로 등가시켰을때
기둥의 밑면의 넓이를 어떻게 하면될까입니다.
이 때, 기둥의 밑면의 넓이를
로 하면 됩니다.
양수 x, y 에 대해
를 헤론 평균이라고 합니다.
산술평균과 기하평균의 1:2 내분점이죠.
헤론 평균의 의미는 앞에서 써놓은대로
뿔대를 기둥으로 등가시켰을때
윗면과 아랫면의 어떤 적당한 사잇값 개념입니다.
5. 증명
아래 그림과 같은 뿔대를 생각해 보겠습니다.
6. 알렉산드리아의 헤론
헤론(Heron of Alexandria)은 고대 그리스 세계에서 활동했던 수학자이자 물리학자, 그리고 무엇보다도 시대를 한참 앞서간 ‘발명가’였다. 흔히 사람들은 그를 두고 “고대 그리스의 에디슨” 혹은 “고대의 다빈치”라고 부르기도 하는데, 그만큼 그는 기술과 상상력, 그리고 수학적 통찰을 융합하여 당대의 과학과 공학에 새로운 지평을 열었던 인물이었다. 그의 정체성은 이론적인 수학자보다는 오히려 실용적 장인, 혹은 문제 해결형 기술자로 보는 것이 더 적절할지도 모른다. 그가 언제 태어났는지, 어떤 삶을 살았는지는 기록이 거의 남아 있지 않아 학자들 사이에서도 기원전 150년경에서 서기 250년경까지 다양한 추정이 존재하지만, 그가 활동한 무대는 분명 고대 이집트의 지적 중심지였던 알렉산드리아였다. 그는 알렉산드리아 도서관과 박물관에서 수학과 물리학, 공학을 가르치며 여러 권의 기술서와 교재를 집필했는데, 이 중에는 학생들을 위한 수업 자료도 있었고 기술자들을 위한 실용 매뉴얼도 포함되어 있었다.
헤론이 남긴 가장 유명한 수학 저작인 《Metrica》에서는 오늘날에도 사용되는 ‘헤론의 공식’을 통해 삼각형의 세 변만으로 넓이를 계산하는 방법을 소개했으며, 그 외에도 입체도형의 부피 계산, 평면도형의 분할법, 기하학 용어 정리 등 다양한 내용을 실용적으로 풀어낸 저작들이 있다. 하지만 그를 특별하게 만드는 것은 그의 수학이 책 속에만 머물지 않았다는 점이다. 그는 실제로 손으로 만지고 작동시킬 수 있는 장치들을 설계했으며, 그중 대표적인 것이 바로 세계 최초의 증기기관으로 여겨지는 ‘아이올리파일’이다. 이는 끓는 물에서 발생한 증기로 구체를 회전시키는 장치로, 산업혁명보다 무려 1,500년을 앞서 증기의 동력화를 상상한 작품이었다. 또한 동전을 넣으면 일정량의 성수가 나오는 자판기, 바람개비와 연결된 자동문, 고대 연극에서 천둥소리를 내는 음향 장치처럼 기계적 원리를 창의적으로 이용한 작품들이 그의 저작에 등장한다. 그는 공기압, 수압, 증기, 중력 등 자연의 힘을 이용해 움직이는 자동장치들 즉 '오토마타'에 큰 관심을 가졌으며, 이것은 단순한 놀잇감이 아니라 자연 현상의 본질을 기술로 재현하려는 시도였다. 빛의 이동 경로에 대한 고찰도 눈에 띄는데, 그는 동일한 매질 내에서 빛은 가장 짧은 길로 이동한다는 ‘최단경로 원리’를 제안하며 이후 물리학의 발전에도 씨앗을 남겼다. 그의 저서들은 단순히 이론을 설명하는 데 그치지 않고, 실제 세계에서 적용 가능한 계산과 장치의 원리를 담고 있어 당시 기술자들에게 일종의 ‘기술 백과사전’이자 교육 교재로 활용되었고, 수 세기가 지난 후에도 아랍 세계와 유럽에서 그 가치를 재발견한 기록이 남아 있다. 경기장의 좌석 수를 계산하거나, 선박에 실을 수 있는 항아리 수를 추정하고, 도르래와 지렛대를 활용해 거대한 돌을 옮기는 방법까지, 헤론의 수학은 언제나 구체적이고 물리적이며 실용적이었다. 그의 이름은 지금도 헤론의 공식, 헤론의 분수, 헤론의 분수대 등 다양한 형태로 수학과 과학의 교과서에 등장하고 있으며, 오늘날 자동화 기술의 기원과 기계적 상상력의 시발점이 어디였는지를 묻는다면, 헤론이라는 이름은 분명 그 중심에 있어야 한다.
7. 시험에서는
증명은 놔두고 공식만 암기해둬도 충분히 좋겠죠.
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