"각의 이등분선 정리"의 교과서 증명은 왜 전부 똑같을까? (feat.유클리드, 평행선 닮음, 내각의 이등분선 정리의 여러가지 증명)
이 글에서는 내각의 이등분선 정리의 증명에 관한
이야기와 몇 가지 다른 증명 방법에 대해
설명하고 있습니다.
1. 각의 이등분선 정리
"각의 이등분선 정리"는 아래 그림과 같이
두 가지가 있습니다.
각의 이등분선 정리
이 정리는 중요합니다.
D 의 위치가 선분 BC 의 내부에 있는지,
외부에 있는지에 따라 그림은 달라도
비율관계식은 동일함을 확인해둬야 합니다.
그런데, 교과서에는 이 내용이 없습니다.
그럼에도, 시험엔 매우 잘 나옵니다.
대부분의 교과서에서는 없거나
평행선 단원에서 연습문제 하나 정도 들어있습니다.
교과서대로 평행선만 배운 상태에서
이 문제를 풀기는 쉽지 않을것 같습니다.
2. 내각의 이등분선 정리 증명
여기서는 "내각의 이등분선 정리"의 증명에 관해서만
한 번 살펴보겠습니다.
대부분의 문제집들의 증명은 아래와 같습니다.
그림과 같이 C 를 지나고 AD 에 평행한 직선과
BA 의 연장선의 교점을 E 라 한다.
이 때, 동위각과 엇각의 성질에 의해 AC=AE 이므로
△BAD ∽ △BEC (AA닮음) 에서,
BD:DC=BA:AE=BA:AC
가 됩니다.
기하에서 평행선 닮음은 비율을 옮겨주는
강력한 고난도 스킬입니다.
평행선 닮음을 능숙하게 쓸줄 알면 웬만한 KMO도
맛있는 간식거리정도가 됩니다.
위의 증명에서, 평행선 닮음을 성립시키는
E 를 작도하는 아이디어가 매우 엘레강트한데,
평행선의 성질을 갓 배운 학생이 이런 평행선 닮음을
만들어 내는것을 숙련하려면 엄청 연습이 필요합니다.
그러면, 각의 이등분선 정리의 증명은
하필 왜 이렇게 어려운 증명으로 해놨을까요?
(넓이를 이용한 증명이 비교적 생각하기 쉽습니다.)
참고로, 외국 교재들을 찾아보면
아래와 같이 되어 있습니다.
미국
중국
일본
다 똑같은 방식으로
평행선 닮음을 활용하네요.
1861년에 출간된 옛날 책을 찾아보면
Plane Geometry, Arthur Schultze, 1861
똑같습니다.ㅋ
그래서 더 옛날 것을 찾아봤습니다.
유클리드 원론
ㅋㅋㅋ 기원전 300년 고대 그리스의
유클리드가 쓴 책에 이 문제가 있습니다.
Euclid Elements Book6 Proposition 3
유클리드 원론은 전체 13권짜리 셋트인데,
이 문제는 6권의 세번째 문제였습니다.
네..
유클리드 형님이 저렇게 푸셨다면
저렇게 하는것이 그냥 맞는겁니다.
유클리드의 원론은 수학의 역사에서 가장 중요한 고전 중 하나로, 기원전 300년경 고대 그리스의 수학자 유클리드가 저술한 기하학과 수론의 기초를 다룬 책입니다. 총 13권으로 구성된 이 작품은 정의, 공리, 공준을 바탕으로 논리적으로 체계화된 수학적 명제들을 제시하며, 기하학의 기본 원리와 증명을 체계적으로 정리한 최초의 문헌으로 평가받습니다.
원론은 단순한 수학 교과서를 넘어, 논리적 사고와 추론의 모델을 제공하며 서양 학문의 근간을 이루었습니다. 특히, 평면기하학, 비례 이론, 소수와 정수론 등 다양한 주제를 다루며, 오늘날에도 수학 교육과 철학, 과학의 기초로 여겨집니다. 이 책은 중세를 거쳐 르네상스까지 학자들에게 필수적인 텍스트였으며, 아이작 뉴턴 같은 위대한 학자들에게도 깊은 영향을 미쳤습니다.
13권의 각 권별 목차는 아래와 같습니다.
제1권: 기초적인 평면기하학
정의(점, 선, 각 등), 공준(예: 두 점을 잇는 직선은 하나), 공리(예: 전체는 부분보다 크다)를 제시.
삼각형의 기본 성질, 평행선 이론, 피타고라스 정리(직각삼각형의 성질) 등 포함.
예: 명제 47 (피타고라스 정리).
제2권: 기하대수
직사각형과 정사각형을 이용한 대수적 관계 탐구.
기하학적 방법으로 이차방정식 해법을 다룸.
예: (a+b)² = a² + 2ab + b² 같은 항등식의 기하적 증명.
제3권: 원의 기하학
원, 현, 호, 각의 성질 탐구.
접선, 원주각, 원의 분할 등.
예: 원에 내접하는 사각형의 성질.
제4권: 내접 및 외접 다각형
원에 내접하거나 외접하는 다각형(삼각형, 사각형, 오각형 등) 구성.
정다각형의 성질과 구성 방법.
제5권: 비례 이론의 기초
비례와 비율의 일반 이론(에우독소스의 비례 이론 기반).
수학적 엄밀성을 위한 논리적 체계 구축.
제6권: 비례 이론의 기하학적 응용
비례를 평면기하학에 적용.
닮음 도형, 삼각형의 비례 정리 등.
제7권: 기본적인 수론
정수, 약수, 최대공약수(GCD), 최소공배수(LCM).
유클리드 알고리즘(최대공약수 계산법) 소개.
제8권: 수론의 연속
기하급수, 소수, 완전수의 성질 탐구.
수의 연속 비례(등비수열) 다룸.
제9권: 수론의 응용
소수와 합성수의 성질, 완전수(예: 6, 28) 연구.
예: 명제 36 (2^(p-1)(2^p-1)이 완전수일 조건).
제10권: 무리수와 기하학
무리수의 분류(예: √2)와 기하학적 표현.
가장 긴 권으로, 무리량의 체계적 분석.
제11권: 입체기하학의 기초
입체 도형(직선, 평면, 다면체)의 기본 성질.
평행성과 수직성, 각뿔과 원뿔의 성질.
제12권: 입체기하학의 부피
원뿔, 원기둥, 구의 부피 계산(취진법 사용).
예: 구의 부피가 원기둥과 관련된 비례.
제13권: 정다면체와 기하학
다섯 가지 정다면체(정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체)의 구성.
황금비와 정다면체의 관계 탐구.
3. 그 외의 증명방법
요즘은 여러가지 증명방법이 알려져 있는데요.
그중 몇 가지만 살펴보겠습니다.
아래 증명들을 열심히 공부해서 평행선 닮음 스킬을
터득해 보시기를 강추합니다.
① 아래 그림과 같이 평행선 CD 를 만들면
동위각, 엇각의 성질로 CA=CD 가 되고,
△ABP ∽ △DCP (AA닮음) 에서,
BP:PC=AB:DC=AB:AC 가 되죠.
매우 엘레강트한 평행선입니다.
② 아래 그림과 같이 평행선 PD 를 만들면
엇각에 의해 DA=DP 가 되고,
△ABC ∽ △DPC (AA닮음) 에서,
BP:PC=AD:DC=DP:DC=AB:AC 가 됩니다.
이 보조선이 간단해보이네요.
③ 아래 그림과 같이 AP 위에 Q 를 잡아서
CP=CQ 가 되게하면, ∠AQC=∠APB 이므로,
△ABP ∽ △ACQ (AA닮음) 에서,
AB:AC=BP:CQ=BP:PC 가 됩니다.
엘레강트 합니다!
④ 아래 그림과 같이 B, C 에서 직선 AP 에
수선의발 E, F 를 내리면,
△ABF ∽ △ACE (AA닮음)
△BPF ∽ △CPE (AA닮음)
가 됩니다. 따라서,
AB:AC=BF:CE=BP:CP 가 됩니다.
직각삼각형 닮음은 만들기 쉽죠.
⑤ 아래 그림과 같이 AP 에 수직인 직선 ℓ 에
B, C 로 부터 수선의 발 E, F 를 내리면,
BCFE 는 사다리꼴이고,
△ABE ∽ △ACF (AA닮음) 가 됩니다.
따라서, BP:PC=EA:AF=AB:AC 가 됩니다.
엘레강트!
내친김에 넓이를 이용한 증명도 볼까요?
⑥ 아래 그림과 같이 P 에서 AB, AC 에 내린 수선의 발을
E, F 라 하면, △APE ≡ △APF (RHA) 이므로
PE=PF 이다.
A 에서 BC 에 내린 수선의 발을 H 라 하면,
이고, 약분해서 정리하면,
가 됩니다.
각의 이등분선 정리의 증명은
이 버전이 가장 알기쉽다 생각됩니다.
⑦ 삼각함수로 넓이를 구해보면
이고, 약분해서 정리하면,
가 됩니다.
스포입니다만, 이 방식은 뒤에서
harmonic division 에서 쓰입니다.
그리고,
각의 이등분선 정리는 역도 성립합니다.
위의 증명들을 각각 그대로 역순으로
진행시키면 되니 각자 연습해보시면
재미있을겁니다.
각의 이등분선에 대해 더 궁금하시다면
아래 글들도 참고해주세요~
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