무게중심이 일치하는 삼각형의 논증 기하 증명 (feat.내분점, 평행선 닮음)
이 글에서는 고1 과정 수학에서 나오는
무게중심이 일치하는 삼각형에 대한
논증기하 증명과 해석기하 증명을
알려드리겠습니다.
1. 삼각형의 무게 중심
아래 그림과 같은 △ABC 에서
변 BC 의 중점을 M 이라 할 때,
중선 AM 을 2:1 로 내분하는 점이
△ABC 의 무게중심 G 입니다.
중2 과정이니 이정도는 다들 아시죠?
2. 각 변을 같은 비율로 내분
△ABC 의 세 변 BC, CA, AB 위에 각각 P, Q, R 이 있고,
BP:PC=CQ:QA=AR:RB (=m:n) 를 만족하면
△ABC 와 △DEF 의 무게중심은 일치합니다.
3. 논증기하 증명
몇가지의 논증기하 증명을 본적이 있는데,
푸어만(Fuhrmann) 버전이 엘레강트합니다.
증명은 아래와 같습니다.
먼저, BC 의 중점 M 에 대해
P 와 대칭인 점 X 를 잡습니다.
그러면, BP:PC=CX:XB (=m:n) 이 됩니다.
즉, CX:XB=CQ:QA (=m:n) 이므로,
QX//AB 입니다.
또, AR:RB=CX:XB (=m:n) 이므로,
RX//AC 도 됩니다.
따라서, AQXR 이 평행사변형입니다.
4. 이어서...
아래 그림과 같이 PQ 의 중점 N 을 잡고
RN 을 잇습니다.
그리고, AM 과 RN 의 교점을 Y 라 합니다.
△PQX 에서 중점연결정리에의해
2MN=XQ, MN//XQ
입니다. 그리고, 평행사변형 AQXR 에 의해
XQ=AR, XQ//AR
이므로,
2MN=AR, MN//AR
이 됩니다. 즉,
△AYR ∽ △MYN
평행선 닮음(AA닮음)이고 닮음비는 2:1 입니다.
따라서, AY:YM=RY:YN=2:1 이죠.
AM, RN 은 각각 두 삼각형의 중선이고,
Y가 각각의 중선을 2:1 로 내분하므로,
Y는 두 삼각형의 무게중심입니다. (일치!)
5. 역명제도 성립합니다.
이 증명은 역방향으로도 그대로 진행가능합니다.
따라서, 역명제도 성립합니다. 즉,
△ABC 의 세 변 BC, CA, AB 위에 각각 D, E, F 가 있고,
△ABC 와 △DEF 의 무게중심이 일치하면
BP:PC=CQ:QA=AR:RB 이다.
6. 빌헬름 페르디난트 푸어만
Wilhelm Ferdinand Fuhrmann, 1833–1904
빌헬름 페르디난트 푸어만은 19세기 독일에서 활동한 수학자로, 이름난 대학 교수나 전문 연구자와는 다소 결이 다른 이력을 지닌 인물이다. 그는 대부분의 시간을 중등교육 현장에서 교사로 재직하며 보냈으며, 수학 연구는 본업 외의 여백에서 이루어진 일종의 개인적 탐구에 가까웠다. 그럼에도 불구하고, 그의 이름은 오늘날까지 ‘푸어만 원(Fuhrmann Circle)’과 ‘푸어만 삼각형(Fuhrmann Triangle)’이라는 기하학적 구성으로 기념되고 있다.
푸어만이 주로 활동하던 19세기 후반은 수학이 점점 전문화되던 시기였으며, 대학을 중심으로 한 학문적 분업과 저널 출판 문화가 자리 잡아가고 있었다. 그러나 당시 독일을 비롯한 유럽 각지에서는 교사나 아마추어 수학자들이 지역 학회나 수학 잡지를 통해 활발히 지적 교류를 이어갔고, 푸어만도 그러한 흐름 속에서 자신의 작업을 발표하였다. 그는 방대한 이론 체계를 구축하거나 복잡한 계산을 수행하기보다는, 정통 유클리드 기하학에 기반한 정밀하고 우아한 구성들을 제시하는 데에 주력하였다.
그가 고안한 ‘푸어만 원’은 수심삼각형(orthic triangle), 내심, 외심 등과 관련된 정점들 간의 기하학적 관계에서 도출되며, 단순한 구성이지만 정교한 대칭성과 우연성을 지닌다. ‘푸어만 삼각형’ 또한 주어진 삼각형의 중심점들을 활용하여 새롭게 정의되는 삼각형으로, 수학적으로 흥미로운 위치 관계를 보여주는 구성이다. 이러한 주제들은 오늘날에도 수학 경시대회 문제나 수학 동아리 연구 주제로 활용되며, 여전히 교육적·탐구적 가치를 지닌다.
푸어만에 관한 개인적 기록은 매우 적은 편이며, 그의 생애나 성격에 대해서는 알려진 바가 거의 없다. 다만, 그가 남긴 글들에서 느껴지는 태도는 차분하고 정제되어 있으며, 수학적 아름다움에 대한 섬세한 감각과 학문에 대한 내적인 진지함을 엿볼 수 있다. 연구보다는 교육에 헌신하며 살아간 인물이었지만, 그가 제안한 간결하고 직관적인 도형 구성은 오히려 긴 세월 동안 사람들의 기억 속에 남아 수학사의 한 자리를 차지하게 되었다.
빌헬름 푸어만의 사례는 전문 학술기관 밖에서도 수학적 기여가 가능하다는 사실, 그리고 한 사람의 성실하고 꾸준한 탐구가 시간이 지나 학문적 유산으로 이어질 수 있음을 보여주는 뜻깊은 사례로 평가된다.
7. 좌표계를 이용한 증명
두 삼각형의 꼭짓점 A, B, C, P, Q, R 의 x 좌표를
각각 a, b, c, p, q, r 이라 하면,
△ABC 의 무게중심의 x 좌표는
이다.
BP:PC=CQ:QA=AR:RB=m:n 이라 하면,
P, Q, R 의 x 좌표는 각각
가 된다.
따라서, △PQR 의 무게중심의 x 좌표는
이므로, △ABC 와 △PQR 의 무게중심의 x 좌표가 같다.
y 좌표도 마찬가지 방법으로 계산되어 같게 되므로,
△ABC 와 △PQR 의 무게중심은 일치한다.
또는, 위의 꼭짓점 A, B, C, P, Q, R 을 복소수라
생각하면 x, y 좌표 언급할 필요없이 한번에 증명 됩니다.
8. 외분점일때도 성립
P, Q, R 이 외분점일때 즉, mn<0 일때도
위의 두 증명은 모두 그대로 잘 성립합니다.
각자 한번 해보시면 아마 재미있을것입니다~
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