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각의 이등분선 길이 공식 증명, 모의고사 치트키 (feat.우산정리)

글·그림 알티수학 쌤 · · 알티수학 인벤토리

이 글에서는 삼각형의 세변의 길이가 주어졌을 때

각의 이등분선의 길이를 구하는 공식을

증명합니다. 이 공식은 암기 강추합니다!

1. 세 변의 길이가 주어진 삼각형에서

아래 그림과 같은 △ABC 에서

BC=a, CA=b, AB=c

라 할 때, ∠A 의 이등분선과

BC 의 교점을 D 라 합니다.

각의 이등분선 길이 공식 증명, 모의고사 치트키 (feat.우산정리) — 그림 1

이 때, 각의 이등분선 정리에의해

BD:DC=AB:AC

이므로,

BD=cab+cBD=\frac{ca}{b+c}
DC=abb+cDC=\frac{ab}{b+c}

입니다.

2. AD 의 길이를 구해볼까요?

각의 이등분선 AD 의 길이는

AD2=AB⋅AC−BD⋅DCAD^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC

입니다. 이 모양으로 외우세요~

풀어서 써보면 아래와 같습니다.

AD=bc−ac⋅bc(b+c)2AD=\sqrt{bc-\frac{ac\cdot bc}{(b+c)^2}}

이제 증명을 한번 볼까요?

3. 우산정리

아래 그림과 같이

∠A 의 이등분선의 연장선과

△ABC 의 외접원의 교점을 E 라 하면,

AB×AC=AD×AE 가 성립합니다.

이것을

각의 이등분선에 대한 우산정리라고 해요.

각의 이등분선 길이 공식 증명, 모의고사 치트키 (feat.우산정리) — 그림 2

증명은 CE 를 잇고 닮음을 씁니다.

각의 이등분선 길이 공식 증명, 모의고사 치트키 (feat.우산정리) — 그림 3

∠B=∠AEC (∵원주각) 이므로,

△ABD~△AEC (AA) 입니다.

따라서, AB:AD=AE:AC 이고,

이것을 고쳐쓰면 AB×AC=AD×AE 로

증명이 됩니다.

4. AD 길이 유도

아래 그림에서 생각합시다.

각의 이등분선 길이 공식 증명, 모의고사 치트키 (feat.우산정리) — 그림 4

우산 정리에 의해

AB⋅AC=AD⋅AE(∵우산정리)AB\cdot AC=AD\cdot AE\quad (\because 우산정리)
            =AD⋅(AD+DE)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =AD\cdot \left({AD+DE}\right)
            =AD2+AD⋅DE\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =AD^2+AD\cdot DE
            =AD2+BD⋅DC(∵D의  방멱)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =AD^2+BD\cdot DC\quad (\because D의\; 방멱)

이므로, 이항하면

AD2=AB⋅AC−BD⋅DCAD^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC

가 됩니다.

모의고사에서 가끔 나오는데

공식만 외워 놨다가 쓰면

시간을 많이 아낄 수 있답니다.

AD2=AB⋅AC−BD⋅DCAD^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC

암기 강추

각의 이등분선에 관해 더 알고 싶으시다면

아래 링크도 참고해주세요~

혹시, 더 궁금하신 것이 있으시다면

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이 글에서 다룬 문제의 저작권은 출제 기관·출제자에게 있으며, 학습과 비평을 목적으로 낱문항만 인용했습니다. 해설과 그림은 필자가 직접 작성한 것입니다. 삭제를 원하시면 rtshhw@naver.com 로 연락 주십시오.

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