인수분해 공식, 소피 제르맹 항등식에 관한 이야기 (feat. 수학 주제탐구, 세특)
이 글에서는 인수분해 공식중의 하나인
소피 제르맹 항등식에 관해 소개합니다.
4차식의 인수분해 중에
아래와 같은 항등식을
소피 제르맹 항등식이라 합니다.
간단하죠.
1. 증명
4x²y² 을 더해주고 빼주면 됩니다.
간단합니다.
그렇지만, 문제로 나오면 잘 안보일 수 있습니다.
예를 들면,
Q. x⁴+4 를 인수분해하면?
4x² 을 더해주고 빼주면
입니다.
Q. x⁴+324 를 인수분해하면?
4·9x² 을 더해주고 빼주면
입니다.
2. 변형
늘 그렇듯 변형이 시험에 잘 나옵니다.
또는,
이렇게 나오면 놓치기 쉬우니 주의하시고요~!
3. 심심하시다면
재미있는 기출문제 두 개 드리겠습니다.
답은 각각
입니다.
4. 소피 제르맹 참고자료
마리 소피 제르맹(Marie-Sophie Germain, 1776-1831)
소피 제르맹은 18세기 말 프랑스 파리에서 태어났습니다. 당시 여성에게는 고등 교육의 기회가 거의 주어지지 않았고, 수학과 같은 학문 분야는 더욱이 남성의 전유물로 여겨졌습니다. 하지만 어린 시절부터 수학에 깊은 흥미를 느꼈던 제르맹은 아버지의 서재에서 몰래 책을 읽으며 독학으로 수학을 공부했습니다. 특히 아르키메데스의 죽음에 대한 이야기를 접하고 수학자의 길을 걷기로 결심했다고 전해집니다.
그녀는 남성 이름인 '르블랑(M. LeBlanc)'이라는 가명으로 당시 최고의 수학자들과 서신을 주고받으며 자신의 연구를 발전시켰습니다. 라그랑주, 르장드르, 가우스와 같은 당대 최고의 수학자들은 르블랑의 뛰어난 재능에 감탄했고, 나중에 르블랑이 여성인 소피 제르맹이라는 사실을 알게 된 후에도 그녀의 학문적 열정과 능력에 깊은 존경을 표했습니다. 특히 가우스는 그녀의 재능을 높이 평가하며 그녀의 연구를 적극적으로 지지했습니다.
소피 제르맹은 탄성 이론, 정수론 등 다양한 분야에서 중요한 업적을 남겼습니다. 특히 그녀의 정수론 연구는 페르마의 마지막 정리 증명에 중요한 단서를 제공했으며, 그녀의 이름을 딴 '소피 제르맹 소수'와 '소피 제르맹 항등식'은 오늘날까지도 수학 교육과 연구에서 중요한 개념으로 다루어지고 있습니다. 그녀의 삶은 사회적 편견과 한계를 뛰어넘어 학문적 열정을 꽃피운 위대한 여성 수학자의 표본이라 할 수 있습니다.
5. 앞의 두 문제 풀이
풀고보면 재미있는 문제입니다.
그 외에도 다양하게 나온 문제들이 꽤 있습니다.
소피 제르맹 항등식도
기회가 되면 세특이나 간단한 연구과제로
다뤄보면 꽤 괜찮은 주제인것 같네요.
혹시, 궁금하신 것이 있으시다면
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