카프레카 상수(Kaprekar constant) 6174 에 관한 이야기 (feat. 수학 주제탐구, 세특)
이 글에서는 카프레카 루틴(Kaprekar routine)으로
생성되는 수가 수렴하는 6174 에 대해 소개합니다.
(재미있음 주의!)
예를 들어,
네 자리수 2357 의 숫자를
내림차순으로 적으면 7532 입니다.
오름차순으로 적으면 2357 이구요.
(내림차순)-(오름차순) 을 계산해보면
7531-2357=5175
가 됩니다.
이 방식으로 2357 에서 5175 를 생성하는 과정을
카프레카 루틴(Kaprekar routine)이라 합니다.
임의의 네 자리수를 데려다가
카프레카 루틴을 반복하면 언제나
7회 이내로 6174가 됩니다.
일단 6174 에 도달하고나면
6174 에서 카프레카 루틴을 하면 6174 가 나옵니다.
더 이상 수가 바뀌지 않죠.
카프레카 상수 6174
1 실험을 해볼까요?
카프레카 루틴
2 하나 더 해봅시다.
1000 의 카프레카 루틴
3 카프레카는 사람이름입니다.
D. R. 카프레카
닷타라야 람찬드라 카프레카 (1905–1986)는
인도의 취미 수학자로서,
카프레카 수, 하르샤드 수, 자기 수(Self number) 등
여러 종류의 자연수를 연구했고,
그의 이름을 딴 카프레카 상수(6174)를
발견한 인물입니다. 정규 대학원 과정을 밟지 않았고
평생을 초등학교 교사로 일했지만,
그는 폭넓은 수학 연구를 발표하며
큰 업적을 남겼습니다.
4 모든 자리수가 같은 수는
예를 들면 8888 같은 것들은
카프레카 루틴 1회만에 0 으로 수렴합니다.
trivial 에 해당하므로 일단 빼두겠습니다.
5 컴퓨터로 돌려보면 금방 알 수 있다.
네 자리수는 0001부터 9999까지
10000개 뿐이므로 컴퓨터로 모두 계산해보면
어렵지않게 확인이 가능합니다.
실제로, 컴퓨터 프로그래밍 예제로
빈출하는 예제입니다.
6 수학적 관점에서 살펴볼까요?
제가 시도해 본 증명의 시작은 아래와 같습니다.
카프레카 루틴의 수학적 성질
7 증명의 마지막 조각
증명 실패!!
이 부분에서 진행이 안되네요
쉬운 문제는 아니었나 봅니다.
8 그나마 조금 더 알 수 있는 것은
9 검색&스터디의 결과
현재 어디까지 되어 있는지 관련 내용을 알아보면
아래와 같습니다
참고
그리고 "5자리 이상에서는 6174 와 같은
카프레카 상수가 존재하지 않는다"는 것은
증명된 수학적 사실이라 하네요.
미해결된 문제들
현재까지 해결되지 않은 문제들도 있습니다.
‘어떤 주기로 순환하는가’
‘순환의 구조는 어떻게 분류되는가’
와 같은 일반화의 영역들…
기회가 되면 세특이나 자소서, 간단한 연구과제로
다뤄보면 재미있을것 같네요.
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