사인법칙을 빠르게 이해하는 법(간단 증명), 호의 길이와 현의 길이는 어디에 비례할까? (feat.원주각과 중심각)
이 글에서는 기억하기쉬운 사인법칙의 증명과
현과 호의 비례관계를 설명하고 있습니다.
추가로, 대칭식을 이용한 사인법칙 증명,
세 변의 길이로 나타낸 외접원의 반지름을
유도했습니다.
사인법칙은 교과서에 아래와 같이 써있죠.
사인법칙 교과서 버전
(1) 증명
증명을 아래와 같이
머릿속에 사진을 찍어두면
처리속도를 몇 초 단축하는데 도움이 됩니다.
(검색해보니, 이 증명은 안보이네요..
좋은것 같은데 왜 없을까..)
알티수학쌤이 추천하는 사인법칙 증명
(2) 둔각삼각형인 경우 체크
둔각삼각형에서의 사인법칙은
아래와 같은 논리에 의해
앞의 (1)로 되돌아가게 된답니다.
둔각삼각형에서의 사인법칙
(3) 직각삼각형의 경우에는
trivial 이죠. 여전히 성립은 하지만
직각삼각형에서 사인법칙을 쓸일은 없겠죠.
사인법칙에 대해 조금 더 생각해보면
아래와 같은 참고 사항이 있습니다.
(4) 비례관계
일반적으로,
호의 길이는 중심각의 크기에 비례합니다.
(중1과정 입니다.)
그리고, 중심각은 원주각의 두 배입니다.
(중3과정 입니다.)
따라서,
호의 길이는 호에 대한 원주각의 크기에 비례합니다.
그런데,
사인법칙은 아래와 같이 고쳐쓸 수 있습니다.
이 식은 꼭 외우세요~!
즉, 현의 길이는 현에 대한 원주각의 사인값에 비례합니다.
(5) 사인법칙을 변의 길이로 표현해 볼까요
코사인2법칙을 써서
제가 좋아하는 brute force로
밀어붙이면 아래와 같습니다.
알티수학쌤이 좋아하는 brute force methodㅋ
재미있습니닼ㅋ
(6) 외접원의 반지름 공식
그러면, 세 변의 길이를 알 때
외접원의 반지름 공식도 알게되었네요.
외접원의 반지름 공식
재미있죠? 오늘도 수학과 함께
즐거운 주말보내시고
혹시, 궁금하신 것이 있으시다면
아래 톡톡을 이용해 주세요~
호의 길이는 원주각에 비례하고
현의 길이는 원주각의 사인값에 비례한다
알티수학쌤