하루키 보조정리(Haruki’s Lemma), 원주의 동점에 관한 불변성 (feat.히로시 하루키)
이 글에서는 하루키 보조정리에 관해
(조금 어려울수도 있지만)
상세히 설명드리겠습니다.
엘레강트+재미있습니다.
1. 원과 두 현이 주어짐
아래 그림과 같이 원이 주어졌고,
두 현 AB, CD 가 주어졌습니다.
그리고,
열호 CD 위를 동점 P 가 움직이고 있습니다.
2. 하루키 보조정리
이제 PA, PB 를 잇고,
아래 그림과 같이 교점을 E, F 라 합니다.
그러면, (P 의 위치와 상관없이)
의 값이 일정합니다.
대박 신기합니다.
느낌적으로,
이 값은 선분의 길이가 되어야 합니다.
(값의 차원을 보면 알 수 있죠.)
어떤 선분이 될지 아래 증명에서 밝혀보겠습니다.
3. 하루키 보조정리의 증명
아래 그림과 같이 △PEB 의 외접원을 생각합니다.
빨간 점선으로 표시된 원이고,
P 가 움직이면 △PEB 와 외접원도 모양이 바뀝니다.
여기서 DQ, BQ 를 잇습니다.
그렇지만, 모양이 바뀌더라도,
빨간원에서 원주각의 성질에 의해
∠APB=∠CQB (파란색 각)인 상태는 유지됩니다.
두 각이 모두 열호 EB 의 원주각이기 때문이죠.
그런데, ∠APB 는 처음부터 주어져 있던
까만색 원에서 열호 AB 의 원주각이므로,
P 와 무관하게 고정값입니다.
따라서, ∠CQB 는 상수가 되죠.
그러면 (P 와 상관없이) Q 는 고정점이어야 합니다.
왜냐하면, 두 현 AB, CD 는 처음에 주어진 현이기
때문입니다.
따라서, 선분 DQ 의 길이가 상수가 됩니다.
F 의 방멱에서
CF×FD (=PF×FB) =EF×FQ
이고, 중첩된 선분을 풀어서 처리하면,
(CE+EF)×FD=EF×(FD+DQ) 에서
CE×FD=EF×DQ 이다. 즉,
로 증명됩니다.
예상대로, 불변값의 정체는 DQ 로 표현이 가능하네요.
4. 히로시 하루키
일본의 수학자 히로시 하루키(Hiroshi Haruki) 는 20세기 중반, 일본의 도쿄 교육대학(현재의 쓰쿠바 대학 전신)에서 활동하면서, 기하학을 중심으로 교육과 연구를 병행한 인물입니다. 이름만으로는 그다지 널리 알려져 있지 않지만, 특히 일본 내 중등 수학교육에서는 그가 기여한 기하 문제와 정리들이 꾸준히 활용되어 왔습니다. 하루키 보조정리는 처음에는 교육 목적의 문제 형태로 제시되었고, 이후 그 구조적 아름다움 덕분에 점차 여러 나라의 수학자들에게도 소개되었습니다. 오늘날 하루키 보조정리는 일본은 물론 한국, 유럽의 일부 기하학 교재에서도 언급되고 있으며, 수학 동아리나 수학 경시대회의 기하 문제로 변형되어 등장하는 경우도 있습니다. 특히 움직이는 점의 성질을 다루는 동시에 정적인 거리의 불변성을 연결한다는 점에서 학생들의 기하적 직관을 자극하기에 좋은 소재입니다. 수학에서 불변성이라는 개념은 매우 중요합니다. 복잡하게 변화하는 도형 안에서도 어떤 관계가 변하지 않고 유지된다는 사실은 신기하고 흥미롭습니다.
참고로,
하루키 정리와 하루키 보조정리는
둘 다 히로시 하루키의 이름이 붙어있지만
내용은 다른겁니다.
하루키 정리는 다음에 따로 설명드리겠습니다.
5. 내신 문제 예시
최근 교육청 기출문제 중에
재미삼아 하루키 보조정리를
한 번 써먹어 볼 수 있는 문제가 있습니다.
△ACM 의 외접원을 그려서 앞에서처럼 Q 를 잡으면
PQ=x-1 이 나오니
하루키 보조정리로 잘 풀립니다.
참고로 이 문제 해설지는 아래와 같습니다.
그러나, 실전이라면 이 문제는
단순히 중3기하를 써서 아래처럼 합니다.
좌우대칭이고, AN=NC=MN=x
이므로, N 에 대한 방멱으로
이렇게하면, 여기까지 10초컷 가능합니다.
이하 계산은 차분하게…
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