알티수학 쌤 수학 노트 센텀 알티수학 학원 · 부산 센텀 · 해운대

대각선이 직교하는 사각형의 필요충분조건 (feat.중2-2,피타고라스,직교사각형)

글·그림 알티수학 쌤 · · 알티수학 인벤토리

여기서는

직교사각형(orthodiagonal quadrilateral)의

피타고라스 정리의 응용에 해당하는 내용을

살펴보겠습니다. 중2-2 에도 나옵니다.

1. 사각형의 대각선이 직교할 때

아래 그림과 같이 대각선이 직교하는 사각형을

직교사각형이라고 합니다.

대각선이 직교하는 사각형의 필요충분조건 (feat.중2-2,피타고라스,직교사각형) — 그림 1

이 때,

AD2+BC2=AB2+CD2⋯ (가)AD^2+BC^2=AB^2+CD^2\quad \cdots \ (가)

이 성립합니다. 왜냐하면,

4개의 직각삼각형

△ABO, △BCO, △CDO, △DAO 에서

피타고라스 정리를 쓰면,

AB2=AO2+BO2AB^2=AO^2+BO^2
BC2=BO2+CO2BC^2=BO^2+CO^2
CD2=CO2+DO2CD^2=CO^2+DO^2
DA2=DO2+AO2DA^2=DO^2+AO^2

이므로, (가) 에 대입해보면

쉽게 확인이 가능합니다.

중2-2 에 나오는 내용인데 시험에도 꽤 나오니

잘 기억해두어야 합니다.

2. 오목사각형인 경우

아래 그림과 같은 오목사각형 ABCD 에서도

앞의 1 과 똑같이 성립합니다.

대각선이 직교하는 사각형의 필요충분조건 (feat.중2-2,피타고라스,직교사각형) — 그림 2

즉,

AD2+BC2=AB2+CD2AD^2+BC^2=AB^2+CD^2

는 동일하게 4개의 직각삼각형

△ABO, △BCO, △CDO, △DAO 에서

피타고라스 정리를 써서

AB2=AO2+BO2AB^2=AO^2+BO^2
BC2=BO2+CO2BC^2=BO^2+CO^2
CD2=CO2+DO2CD^2=CO^2+DO^2
DA2=DO2+AO2DA^2=DO^2+AO^2

로 부터 확인 가능합니다.

3. 꼬인사각형인 경우

아래 그림과 같은 오목사각형 ABCD 에서도

여전히 앞에서의 경우와 마찬가지로 성립합니다.

대각선이 직교하는 사각형의 필요충분조건 (feat.중2-2,피타고라스,직교사각형) — 그림 3

즉,

AD2+BC2=AB2+CD2AD^2+BC^2=AB^2+CD^2

이고, 동일하게 4개의 직각삼각형

△ABO, △BCO, △CDO, △DAO 에서

피타고라스 정리를 써서

AB2=AO2+BO2AB^2=AO^2+BO^2
BC2=BO2+CO2BC^2=BO^2+CO^2
CD2=CO2+DO2CD^2=CO^2+DO^2
DA2=DO2+AO2DA^2=DO^2+AO^2

로 확인 가능합니다.

4. 직교사각형의 성질

그러므로, 대각선이 직교하면

AD2+BC2=AB2+CD2AD^2+BC^2=AB^2+CD^2

가 성립합니다.

5. 역명제

위의 내용은 역명제도 성립합니다.

즉, 사각형 ABCD 에서

AD2+BC2=AB2+CD2AD^2+BC^2=AB^2+CD^2

가 성립하면, 이 사각형은 직교사각형입니다.

(두 대각선이 직교합니다.)

증명은 여러가지 방법으로 가능한데,

여기서는 아래와 같이 진행해 보겠습니다.

6. 역명제의 증명

이제,

AD2+BC2=AB2+CD2AD^2+BC^2=AB^2+CD^2

이면 대각선이 직교함을 알아보겠습니다.

아래 그림과 같이 사각형 ABCD 에서

대각선 AC 와 BD 가 직교인지 모르는 상태입니다.

A, C 로 부터 대각선 BD 에 내린 수선의 발을

각각 P, Q 라 합니다.

대각선이 직교하는 사각형의 필요충분조건 (feat.중2-2,피타고라스,직교사각형) — 그림 4

4개의 직각삼각형

△ABP, △BCQ, △CDQ, △DAP 에서

피타고라스 정리를 각각 써 보면

AB2=AP2+BP2AB^2=AP^2+BP^2
BC2=BQ2+CQ2BC^2=BQ^2+CQ^2
CD2=CQ2+DQ2CD^2=CQ^2+DQ^2
DA2=DP2+AP2DA^2=DP^2+AP^2

입니다. 이것을

AD2+BC2=AB2+CD2AD^2+BC^2=AB^2+CD^2

에 대입해서 정리하면,

(DP2+AP2)+(BQ2+CQ2)=(AP2+BP2)+(CQ2+DQ2)\left(DP^2+AP^2\right)+\left(BQ^2+CQ^2\right)=\left(AP^2+BP^2\right)+\left(CQ^2+DQ^2\right)
⇔DP2−BP2+BQ2−DQ2=0\Leftrightarrow \quad DP^2-BP^2+BQ^2-DQ^2=0
⇔(DP+BP)(DP−BP)+(BQ+DQ)(BQ−DQ)=0\Leftrightarrow \quad \left(DP+BP\right)\left(DP-BP\right)+\left(BQ+DQ\right)\left(BQ-DQ\right)=0
⇔BD(DP−BP)+BD(BQ−DQ)=0\Leftrightarrow \quad BD\left(DP-BP\right)+BD\left(BQ-DQ\right)=0
⇔BD(DP−BP+BQ−DQ)=0\Leftrightarrow \quad BD\left(DP-BP+BQ-DQ\right)=0
⇔BD(DP−DQ+BQ−BP)=0\Leftrightarrow \quad BD\left(DP-DQ+BQ-BP\right)=0
⇔BD(2PQ)=0\Leftrightarrow \quad BD\left(2PQ\right)=0

이고, BD≠0 이므로, PQ=0 이 됩니다.

따라서, A, P=Q, C 가 일직선이 되어서

대각선 AC 가 되고, 이때 AC 와 BD 는 직교합니다.

7. 시험에서

역명제까지 성립하므로

이제 사각형의 네 변의 길이만 알면

대각선이 직교하는지 판정할 수 있게 되었습니다.

학교 시험에서

사각형의 네 변이 주어지는 경우, 종종

AD2+BC2=AB2+CD2AD^2+BC^2=AB^2+CD^2

이 성립하는 경우가 있습니다.

대각선이 직교하면

당장, 넓이를 쉽게 구할 수 있습니다.

두 대각선 길이 곱의 절반이 넓이가 되죠.

그리고, 브라마굽타 정리도 쓸 수있고...

(그 이상은 학교 시험에는 안나올것 같네요.↔)

혹시, 더 궁금하신 것이 있으시다면

아래 톡톡을 이용해 주세요

#직교사각형 #대각선 #대각선직교 #피타고라스 #증명

같은 분류의 글 — 알티수학 인벤토리