맨션 정리, 삼각형의 외접원과 내심에 관한 성질 (feat. 삼지창 정리)
여기서는 맨션 정리에 관해서
증명과 관련 내용 설명을 썼습니다.
1. 맨션 정리와 증명
△ABC 의 내심을 I 라 하고, ∠A 의 이등분선과
△ABC 의 외접원의 교점을 D 라 할 때,
DB=DI=DC 가 성립합니다.
위의 그림에서
열호 DB 와 열호 DC 에 대한 원주각이
각각 ∠DAB 와 ∠DAC 로 같으므로
일단, DB=DC 는 됩니다.
(호의 길이가 같으면 현의 길이가 같으니까요)
그리고, △ABI 의 외각의 성질에 의해
이므로,
△DBI 가 이등변삼각형이 되므로
DB=DI 가 됩니다.
그러므로, DB=DI=DC 입니다.
한 번 고쳐쓰면,
△IBC 의 외심이 D
입니다. (중요합니다.!!)
2. 명칭에 관하여
이 정리는 명칭이 필요 없을 정도로
간단한 내용이지만,
아래와 같이 언급된 책이 있습니다.
이 책은 어릴때 읽었던 "재미있는 이야기수학"
이라는 책인데, 현재 절판이네요.
사실, 요즘은 더 좋은 책이 너무 많긴합니다.
cut-the-knot 이라는 매우 좋은
수학사이트에서 비슷한 언급이 있습니다.
여기 설명에서
"The theorem is often referred to as the Mansion Theorem,
supposedly named after
a 19th-century French mathematician
Jean-Baptiste Mansion."
라는 언급이 있습니다.
"‘Mansion 정리’는 종종 19세기 프랑스 수학자
‘Jean-Baptiste Mansion’의 이름을 딴 것으로
알려져 있다(supposedly)."
그렇지만 맨션 정리라는 명칭은 우리나라에서만
널리 쓰이는것 같습니다.
대부분의 영어권 문헌에서는
trillium theorem 또는 trident lemma
라고 하네요.
trillium 은 꽃이름이고
trillium
trident 는 삼지창입니다.
trident
그림만 봐도 딱 느낌이 오네요.
3. 방심까지 확장
실제로는 방심까지 확장 됩니다.
즉, 아래 그림과 같이
△IBC 의 외접원을 생각하면,
ID 의 연장선에 있는 지름의 끝점이
A 에 마주보는 방심이 됩니다.
(대박사건이죠.)
왜냐하면, ∠IBI_A 가 직각인데(∵지름의 원주각)
이것은 BI_A 가 외각의 이등분선이라는 뜻이니까요.
방심까지 포함시키면
좀 더 삼지창 닮긴 했네요.
4. 중 2-2 문제집에서
최근에는 내신 문제집에서 가끔 출현하니
공부해두어야 할것 같습니다.
맨션 정리를 알면 답이 8인 것을 아는데
1초도 안걸립니다.
아래 문제도 마찬가지이고요.
답이 4인것이 바로 보입니다.
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