덕문여고 1-1 수학 2025 기말고사 기출 공통수학1 서답형 3번 이야기 (feat. 슈퍼 헤로니안 삼각형, 펠방정식)
이 글에서는 지난 7월3일에 치뤄진
덕문여고 기말고사 한 문제를 살펴볼까요?
문제는 아래와 같습니다.
2025 덕문여고 1-1 공통수학1 기말고사 서술형 3번
1. 일단 풀어볼까요
AD, AC, BC, AB 가 순서대로
연속된 자연수이므로, 자연수 n 에 대해
라 두고 시작합니다.
따라서 B, D, C 는 일직선 위의 점입니다.
그리고, 구하려는 두 반지름은
아래와 같습니다.
2. 피타고라스 정리 적용
이제 피타고라스 정리로 n 을 구합니다.
그리고나면, 이 무리방정식을 풀면 됩니다.
3. 마무리 계산
그러면, 이제 두 원의 반지름을 구할 수 있습니다.
4. 두 번째 소문항 풀이
아래와 같이 쭉쭉 진행하면 그만입니다.
그러면, 구하는 a 값은
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
이므로 이 8개가 답이 됩니다.
5. 헤로니안 삼각형
수학 덕후들은 n=12 를 문제를 보자마자 압니다.
△ABC 에서 세 변의 길이가 자연수이고,
넓이도 자연수가 되는 삼각형을
헤로니안 삼각형(Heronian triangle) 이라 합니다.
정수론에서 재미있는 소재라서 놓치기 힘들죠.
이 문제의 △ABC 의 세 변이 자연수이고,
AD 가 자연수이니
△ABC 의 넓이가 자연수가 될 가능성이 큽니다.
왜냐하면 원시피타고라스 수에서 빗변이
언제나 홀수인것이 상식이라서요.
빗변이 아닌변은 홀짝성이 다르답니다.
(이것도 상식)
원시 피타고라스수는 다음에 다시
알려드리겠습니다.
그리고, 헤로니안 삼각형 중에
삼각형의 세 변이 연속한 자연수인 경우를
슈퍼 헤로니안 삼각형이라 합니다.
원시피타고라스수로 이루어진
직각삼각형은 모두 슈퍼 헤로니안이고,
나머지 슈퍼 헤로니안은
헤론 공식에 넣어서 풀어보면
펠방정식이 나와서
무한히 많음을 증명할 수 있습니다.
슈퍼 헤로니안 삼각형의 세 변은
아래와 같이 빠짐없이 순서대로
모두 생성할 수 있습니다.
(주제탐구로 쓰기 딱 좋네요.)
그만큼, 재미있는 소재입니다.
특히, 직각삼각형을 제외한 최초가
이 문제에 출제된 (13, 14, 15) 입니다.
6. 문제 풀이 과정 리뷰
그래서 이 문제는 보자마자 n=12 를 추측하고
단답형이나 객관식이면 그냥 진행하고,
서술형이라면 무리방정식
을 하나 써주고, 푸는 과정 생략하고
열심히 풀었더니 n=12 이다라고 할 수 있습니다.
혹시 마음속으로 해의 유일성이 걱정된다면
아래와 같이 암산합니다.
우변은 위로 볼록한 단조 증가 함수이고,
좌변도 단조증가 하므로 해는 2개 이하,
n=1 일 때와 n 이 매우 클때, 좌우변의 함수값을
비교해주고, 사잇값 정리를 쓰면
이 무리방정식의 실근은 한개임을 확신할 수 있습니다.
7. 그러나
실제 시험이 서술형이라면
이상한것 적지 마시고,
모범적인 답을 써 내야겠죠?
그렇지만, 답의 방향을 예상하고 진행하는것과
전혀 모르는 상태로 한줄 한줄 풀어가는것은
속도와 실수방지에서 큰 차이가 납니다.
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