복소수가 순허수가 될 때 암산하는 법, 부산과학고 1-1 수학 기출 2025 기말고사 (feat. 각의 이등분선)
이 글에서는 지난달에 치뤄진
부산과학고 1학년 수학 기말고사 한 문제를
재미있게 풀어보겠습니다.
문제는 아래와 같습니다.
2025 부산과학고 1-1 공통수학1 기말고사 3번
1. 단순 계산으로 해봅시다.
속칭, '성분노가다' 라고 하죠.
복소수 문제는 성분노가다를 뛸지,
다른 고급 테크닉을 쓸지
빠르게 판단을 해야 합니다.
시험시간이 모자라기 때문이죠.
경험상 뭘할지 우물쭈물 하다가 버려지는 시간이
많이 버려지는 유형의 문제입니다.
여기서는 일단, 아무 생각없이
u=a+bi, v=c+di 를 대입해서 해보겠습니다.
계산이 손이 많이가지만 재미는 있습니다.
이제, 이 곱셈을 열심히 하면됩니다.
생각보다 빡쎕니다.
그렇지만 성분노가다를 뛰려고 결정한 이상
이 문제 맞추려면 딴생각 하지말고 끝까지 밀어붙여야죠. 그리고, 과고생에게는 이 정도 계산은 별거 아닙니다.
문제의 주어진 조건을 써서 열심히 정리하면
위와같이 정리됩니다.
이제, ad-bc=0 이 아니다라는것만
증명하면 되겠네요. 귀류법을 쓰겠습니다.
이렇게 증명이 완성되었습니다.
이렇게 써 내면 퍼펙트합니다.
참고로,
Z 를 제곱해서 음수임을 보이는 성분NGD 를
선택하는 학생도 있을 수 있는데,
그 계산은 견디기 힘듭니다
아무리 계산이 재미있어도 제곱을 하는 동작은
시간의 압박속에서는 무리인것 같습니다.
2. 켤레를 써봅시다.
이제 조금 기술을 써보겠습니다.
복소수 Z 가 순허수임을 확인하려면
아래 두 가지를 증명하면 됩니다.
켤레의 이런 성질은 복소수가
실수가 되거나, 순허수가 될때
계산을 엄청 줄여주니 연습해두어야 합니다.
이제, 이것을 계산으로 처리해 봅시다.
이렇게 됩니다.
그리고,
이므로, 이어서 진행하면
아래와 같이 증명이 완료됩니다.
시험공부를 좀 했다면 실전에서는 이렇게 가야하죠.
3. 암산으로 하면?
암산으로도 아래와 같이 진행 가능합니다.
글로 쓰면 길어지는데, 머릿속으로 굴리면
몇 초 안걸립니다.
복소수를 기하로 해석하는것이 다소 생소할 수도 있지만,
과고 상위권들은 중학교때 배워서 아는 내용일겁니다.
선행학습의 힘이죠.
시험에서는 답은 2 와 같이
적어서 내는것이 무난하겠네요.
그렇지만 결론을 알고 풀면
다른 풀이로 진행하더라도 방향성의 확신이 있으므로
망설임 없이 곧바로 직진할 수 있으니 큰 도움이 됩니다.
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