SAS 닮음 대표예제, 2024 KMO 38회 중등1차 기하 기출 3번 해설 (feat. spiral simililarity)

글·그림 알티수학 쌤 · 2025-08-08 · 알티쌤 수올칼럼

이 글에서는 2024년 KMO 1차 기출 문제

세번째 기하문제의 해설을 담았습니다.

출제된 문제는 아래와 같습니다.

SAS 닮음 대표예제, 2024 KMO 38회 중등1차 기하 기출 3번 해설 (feat. spiral simililarity) — 그림 1

2024 KMO 38회 중등1차 기하 3번째 문제

1. 그림그리기

문제의 조건대로 그림을 그려보면 아래와 같습니다.

SAS 닮음 대표예제, 2024 KMO 38회 중등1차 기하 기출 3번 해설 (feat. spiral simililarity) — 그림 2

P, H 부분이 좁아서 불편하네요.

문제에서 주어진 비율 1:5 를 1:k 로 일반화하고

아래와 같이 그림을 조정하고 시작해보겠습니다.

SAS 닮음 대표예제, 2024 KMO 38회 중등1차 기하 기출 3번 해설 (feat. spiral simililarity) — 그림 3

2. SAS 닮음 확인

문제의 조건대로 그림을 그려보면 아래

여기서, △AHC ~ △PHQ (SAS) 가 됩니다.

왜냐하면,

\angle HAC=\angle HAD-45\degree =\angle APH-45\degree =\angle HPQ

이고,

\frac{AH}{PH}=\frac{AD}{AP}=k,\quad \frac{AC}{PQ}=\frac{\sqrt{2}AD}{\sqrt{2}AP}=k

이기 때문에,

\frac{AH}{PH}=\frac{AC}{PQ}

가 됩니다.

이제, 닮음의 대응각 ∠AHC=∠PHQ 에서

양변에 ∠AHQ 를 빼면,

∠QHC = ∠PHA = 90° 이므로,

△APH ~ △CQH (SAS) 가 또 됩니다.

(이 부분은 spiral similarity 라고 하는데

다음에 따로 정리해서 알려드리겠습니다.)

이때, 닮음비는 AP : CQ 이므로

넓이비는 AP² : CQ² 입니다.

3. 마무리 계산

편의상 AP=1 이라 하면,

AD=k, QD=k-1 이고,

△QDC 에서 피타고라스 정리로

CQ²=2k² -2k+1 이 됩니다.

이제, k=5 를 대입하면,

AP² : CQ² = 1:41 이므로,

[△HCQ] = [△APH] × 41 =820

입니다.

4. SAS 닮음 참고

초보자 시절에는 SAS 닮음이 잘 보이지 않는데,

다행인것은,

끊임 없이 많이 나오는 AA 닮음에 비해

SAS 닮음은 가끔 나오므로

나올때마다 따로 모아서 공부해두는것이 좋습니다.

그리고 참고로, 이 문제는 매우 널리 알려진

SAS 닮음의 대표 예제였습니다.

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