역대급 쉬운 2024 KMO 38회 고등2차 기하 1번 해설 (feat. 각찾기, 내대각, 원주각)
이 글에서는 2024년 KMO 고등부 2차 기출 문제
1번 문제(기하)의 해설을 담았습니다.
출제된 문제는 아래와 같습니다.
2024 KMO 38회 고등2차 1번 문제 (기하)
1. 그림그리기
먼저 문제의 뜻에 맞게 그림을 그려봐야겠죠?
아래와 같이 크게 두 가지 그림이 가능합니다.
△ABX 가 정해져있어서, AB 의 길이는 상수이고,
△ABO 의 외접원의 크기 (반지름 R) 은
사인법칙에 의해 결정됩니다. 즉,
이므로, ∠AOB 의 사인값에 반비례하죠.
따라서, A, B, O 가 일직선이면
R → ∞ 가 됩니다.
2. 풀이
풀이는 간단한데,
문제해결에 쓸만한 같은각을 찾아서
가지런히 정리하면 됩니다.
DO 의 연장선과 XA 의 교점을 P 라 합니다.
또, AB 의 중점을 M 이라 하면,
△OAM ≡ △OBM 이므로, OM⊥BC 이죠.
또, ∠X=∠AOM …(가) 입니다.
그리고,
원에 내접하는 사각형 ABDO 에서
내대각의 성질에 의해 ∠XDP=∠OAM …(나)
이므로, (가), (나) 에 의해
△XDP∽△OAM (AA) 입니다.
따라서, ∠DPX = ∠AMO = 90° 가 되므로,
DP 는 △XDP 에서 D 에서 수선입니다.
마찬가지 방법으로, CO 도 수선이되구요.
그러므로, O 는 △XDP 의 수심입니다.
두 번째 배치도 거의 똑같이 증명가능합니다.
DO 의 연장선과 XA 의 교점을 P 라 합니다.
또, AB 의 중점을 M 이라 하면,
△OAM ≡ △OBM 이므로, OM⊥BC 이죠.
또, ∠X=∠AOM …(가) 입니다.
그리고,
△ABO 의 외접원에서
이므로, (가), (나) 에 의해
△XDP∽△OAM (AA) 입니다.
따라서, ∠DPX = ∠AMO = 90° 가 되므로,
DP 는 △XDP 에서 D 에서 수선입니다.
마찬가지 방법으로, CO 도 수선이되구요.
그러므로, O 는 △XDP 의 수심입니다.
3. 참고로, 각찾기
같은 각이 나오는 부분을 충분히 연습해두면
점점 더 실력이 좋아질것입니다.
고켐에서 가끔 쉬운 문제도 나옵니다.
이번에는 보조선없이 단순히
같은각만 찾으면 되는 문제가 출제되었네요.
센텀 알티수학은
부산 해운대 센텀에 있는 수학 학원입니다.
이 글에서 다룬 문제의 저작권은 출제 기관·출제자에게 있으며, 학습과 비평을 목적으로 낱문항만 인용했습니다. 해설과 그림은 필자가 직접 작성한 것입니다. 삭제를 원하시면 rtshhw@naver.com 로 연락 주십시오.